[论文解读] Classical analogs of the covariance matrix, purity, linear entropy, and von Neumann entropy

Bogar Díaz, Diego González+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2023

Quantum Information and Cryptography参考文献 61被引用 9

一句话总结

本文通过利用作用量-角度变量和一个量子化规则，推导出经典可积系统的经典协方差矩阵，并引入量子信息度量（协方差矩阵、纯度、线性熵和冯·诺依曼熵）的经典类比。结果表明，这些经典类比在耦合谐振子等系统中对高斯态能精确重现量子结果，证明了对于此类态，关键的量子纠缠度量可完全在经典力学框架内计算。

ABSTRACT

We obtain a classical analog of the quantum covariance matrix by performing its classical approximation for any continuous quantum state, and we illustrate this approach with the anharmonic oscillator. Using this classical covariance matrix, we propose classical analogs of the purity, linear quantum entropy, and von Neumann entropy for classical integrable systems, when the quantum counterpart of the system under consideration is in a Gaussian state. As is well known, this matrix completely characterizes the purity, linear quantum entropy, and von Neumann entropy for Gaussian states. These classical analogs can be interpreted as quantities that reveal how much information from the complete system remains in the considered subsystem. To illustrate our approach, we calculate these classical analogs for three coupled harmonic oscillators and two linearly coupled oscillators. We find that they exactly reproduce the results of their quantum counterparts. In this sense, it is remarkable that we can calculate these quantities from the classical viewpoint.

研究动机与目标

• 为经典可积系统发展量子信息度量（如协方差矩阵、纯度、线性熵和冯·诺依曼熵）的经典类比。
• 建立一个仅基于经典力学的框架，以重现高斯态的量子纠缠度量结果。
• 证明通过作用量-角度变量和一个量子化规则导出的经典协方差矩阵，能在特定系统中给出与量子对应量完全相同的值。
• 通过相空间相关函数，为量子非可分性及子系统信息含量提供经典解释。
• 通过在耦合谐振子系统上的显式计算验证该方法，确认其与量子结果完全一致。

提出的方法

• 利用作用量-角度变量和作用量变量的量子化规则，推导出类似于量子协方差矩阵的经典协方差矩阵。
• 将经典协方差矩阵表示为相空间变量相关函数的形式，与量子形式相对应。
• 利用经典协方差矩阵，通过标准的量子信息公式定义纯度、线性熵和冯·诺依曼熵的经典类比。
• 将该形式化方法应用于如三个耦合谐振子和两个线性耦合振子等可积系统。
• 将经典结果与高斯态的量子对应量进行比较，确认完全一致。
• 利用路径积分和辛几何框架，连接经典与量子形式，确保在经典极限下的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为可积系统推导出一个经典协方差矩阵，使其在高斯态下精确重现量子协方差矩阵？
• RQ2 经典纯度、线性熵和冯·诺依曼熵的类比量，在高斯态下是否与它们的量子对应量完全相同？
• RQ3 作用量-角度变量和量子化规则在连接经典与量子信息度量中起什么作用？
• RQ4 经典相空间相关函数如何编码类似量子的纠缠度量？
• RQ5 在不引入量子公设的前提下，经典力学在多大程度上能重现量子信息论量？

主要发现

• 通过作用量-角度变量和一个量子化规则导出的经典协方差矩阵，能精确重现非谐振子基态的量子协方差矩阵。
• 在三个耦合谐振子系统中，纯度、线性熵和冯·诺依曼熵的经典类比量与量子结果完全一致。
• 在两个线性耦合振子的情形下，经典框架与量子纠缠度量结果完全一致。
• 经典信息度量类比完全由经典协方差矩阵和相空间中的相关函数决定。
• 该方法为量子非可分性提供了经典解释，其中度量反映了子系统中保留的信息含量。
• 结果表明，只要系统处于高斯态，仅通过经典工具即可计算关键的量子信息量。