[论文解读] Classical and Quantized General-Relativistic Angular Momentum

Geoffrey Compère, David A. Nichols|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用 12

一句话总结

本文通过在 null 无穷远处使用非局部的 2-球张量，提出了一种超平移和质心系不变的公式，解决了广义相对论中角动量定义长期存在的单参数模糊性。所提出的角动量源自广义 BMS 电荷，且与量子对称性一致，使得渐近平坦时空中的角动量能够被良好定义地进行量子化。

ABSTRACT

Angular momentum at null infinity has a supertranslation ambiguity from the lack of a preferred Poincaré group and a similar ambiguity when the center-of-mass position changes as linear momentum is radiated. Recently, we noted there is an additional one-parameter ambiguity in the possible definitions of angular momentum and center-of-mass charge. We argue that this one-parameter ambiguity can be resolved by considering the generalized BMS charges that are constructed from local 2-sphere-covariant tensors near null infinity; these supertranslation-covariant charges differ from several expressions currently used. Quantizing angular momentum requires a supertranslation-invariant angular momentum in the center-of-mass frame. We propose one such definition of angular momentum involving nonlocal quantities on the 2-sphere, which could be used to define a quantum notion of general-relativistic angular momentum.

研究动机与目标

• 解决由于超平移和质心系模糊性导致的在渐近平坦时空中定义角动量时存在的单参数模糊性。
• 识别一种在广义 BMS 对称性（特别是超平移和洛伦兹变换）下不变的唯一角动量定义。
• 构建一种非局部的、超平移和质心系不变的角动量，使其与量子引力的量子化程序相容。
• 确保与已知物理极限的一致性，例如在质心系中的 Kerr 黑洞以及次领头项软引力子定理。
• 为在空间无穷远处正确变换于广义 BMS 对称性的量子角动量算符提供一个定义框架。

提出的方法

• 使用局部的 2-球协变张量，在空间无穷远处推导广义 BMS 电荷代数，从而约束角动量定义的允许形式。
• 提出一种涉及 2-球上非局部量的新角动量表达式，特别是超平移参考函数 $ C^{ ext{--}} $，该函数由球面上一个椭圆微分算子的逆得到。
• 构造内禀角动量为 $ ilde{f J}_R^{ ext{inv}} = rac{1}{2} igintss_{S} d ilde{f heta} R^A ig( N_A - u ar{m} abla_A - rac{2ar{m}}{c} abla_A C^ ext{--} - rac{1}{c} abla_A (ar{m} C^ ext{--}) ig) $，该表达式明显具有超平移不变性。
• 通过 (超-)洛伦兹群的 $ SO(3) $ 子群识别质心系，利用依赖于提升和动量的旋转生成元 $ R'^A_i $，确保角动量为内禀量。
• 验证所提出的电荷满足正确的代数结构：$ igracevert ilde{f J}_R^{ ext{inv}}, ilde{f J}_{R'}^{ ext{inv}} igracevert = ilde{f J}_{[R,R']}^{ ext{inv}} $，且与超平移电荷对易。
• 将新定义与现有定义（如 Thorne、Ashtekar-Streubel、Chen 等）进行比较，表明其在平凡参考系中与 Pasterski 等人一致，但与其他定义相比，存在一个 $ rac{1}{c} $ 修正的非局部项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在渐近平坦时空中唯一地解决广义相对论角动量定义的单参数模糊性？
• RQ2 角动量的定义需满足何种条件，才能与广义 BMS 对称性及量子引力相容？
• RQ3 为何必须采用非局部构造来定义一个超平移和质心系不变的角动量？
• RQ4 所提出的定义在适当极限下如何退化为已知表达式（如 Kerr 解、LIGO 类系统）？
• RQ5 能否利用广义 BMS 对称性在 null 无穷远处定义一个一致的角动量量子算符？

主要发现

• 所提出的角动量 $ ilde{f J}_R^{ ext{inv}} $ 明显具有超平移不变性，并在 (超-)洛伦兹群下正确变换，从而解决了单参数模糊性。
• 该定义与常用表达式（如 Thorne、Ashtekar-Streubel、Wald-Zoupas）以及 Chen 等人（2021）的定义不同，其差异源于一个涉及 $ C^{ ext{--}} $ 的非局部项，该量通过在 2-球面上对二阶椭圆微分算子求逆得到。
• 在平直时空下角动量为零，并在旋转黑洞的质心系中退化为 Kerr 角动量。
• 该表达式满足正确的 BMS 电荷代数和通量定律，且与次领头项软引力子定理一致。
• 由局部张量的梯度导出的 $ C^{ ext{--}} $ 的非局部性，证实了此前对内禀角动量定义中非局部性的预期。
• 在平凡超平移和质心系下，该定义与 Pasterski 等人（2016）及 Hawking 等人（2017）一致，但在其他情况下存在差异，凸显了采用唯一、对称性保持的定义的必要性。