[论文解读] Classical and Quantum algorithms for generic Syndrome Decoding problems and applications to the Lee metric

André Chailloux, Thomas Debris-Alazard+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2021

Coding theory and cryptography参考文献 18被引用 13

一句话总结

本文将信息集译码（ISD）算法扩展至通用权重函数，包括Lee度量，并提供了一个统一的框架，用于分析经典与量子复杂度。研究发现，在某些参数下，Lee度量下的伴随矩阵译码比汉明度量指数级困难，尤其在中等码率和高权重时，当q=3时，q-ary复杂度达到峰值，此时问题最困难。

ABSTRACT

The security of code-based cryptography usually relies on the hardness of the syndrome decoding (SD) problem for the Hamming weight. The best generic algorithms are all improvements of an old algorithm by Prange, and they are known under the name of Information Set Decoding (ISD) algorithms. This work aims to extend ISD algorithms' scope by changing the underlying weight function and alphabet size of SD. More precisely, we show how to use Wagner's algorithm in the ISD framework to solve SD for a wide range of weight functions. We also calculate the asymptotic complexities of ISD algorithms both in the classical and quantum case. We then apply our results to the Lee metric, which currently receives a significant amount of attention. By providing the parameters of SD for which decoding in the Lee weight seems to be the hardest, our study could have several applications for designing code-based cryptosystems and their security analysis, especially against quantum adversaries.

研究动机与目标

• 将信息集译码（ISD）算法的适用范围从汉明权重扩展至任意权重函数，包括Lee度量。
• 在经典与量子计算模型下，提供ISD算法的通用复杂度分析。
• 识别代码基密码学中Lee度量下伴随矩阵译码问题的最困难实例。
• 通过量化不同字母表大小与权重函数下的困难程度，支持对量子对手具有抗性的安全代码基密码系统的构建。
• 开发一种凸优化方法，用于计算任意度量下的渐近球面面积，从而实现对任意权重函数的复杂度估计。

提出的方法

• 将Wagner的广义生日问题算法适配至ISD框架，以解决任意权重函数下的伴随矩阵译码问题。
• 采用凸优化方法，计算由函数wt′: F_q → R_+（满足wt′(0) = 0）导出的任意权重函数的渐近球面面积。
• 利用计算得到的球面面积，推导ISD算法在经典与量子环境下的渐近复杂度表达式。
• 将该框架应用于Lee度量，与汉明度量进行比较，并以q-ary渐近复杂度（q^{╱n}）和二进制渐近复杂度（2^{αn}）衡量复杂度。
• 在码率R与权重ω上进行优化，以识别伴随矩阵译码问题的最困难实例。
• 对多种q值进行数值验证，结果表明q-ary复杂度在q=3时达到峰值，表明该度量下问题最困难。

实验结果

研究问题

• RQ1 在代码基密码学中，若用Lee权重替代汉明权重，伴随矩阵译码的复杂度如何变化？
• RQ2 在不同权重函数与字母表大小下，ISD算法的渐近经典与量子复杂度为何？
• RQ3 在Lee度量下，哪些码率与权重使伴随矩阵译码问题最困难？
• RQ4 Wagner算法能否有效集成至ISD框架中，以处理非汉明权重函数？
• RQ5 q-ary渐近复杂度随字母表大小q的增加如何变化？问题在何处最困难？

主要发现

• 在某些参数下，Lee度量下的伴随矩阵译码问题比汉明度量指数级困难，尤其在高权重与中等码率时。
• 当q=3时，q-ary渐近复杂度达到最大值，表明Lee度量问题在此字母表大小下最困难。
• 最困难实例出现在码率R ∈ (0.35, 0.6)区间，最优权重ω/⌊q/2⌋ ≈ 1（小q时），或略低于1（大q时）。
• 基于Wagner方法的量子ISD算法相较于经典版本实现近乎二次加速，复杂度指数从α降至╱。
• q-ary复杂度q^{╱n}随q先减小后增大，峰值出现在q=3，表明更大的q并不总是提升安全性，因输入大小增长。
• 所提出的凸优化方法可对满足wt(e) = ∑ wt′(e_i)的任意权重函数实现精确的渐近球面面积估计，从而支持通用复杂度分析。