[论文解读] Classical and Quantum Algorithms for the Boolean Satisfiability Problem

Carlos Barrón-Romero|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的经典与量子算法框架，用于布尔可满足性问题（SAT），通过三进制和二进制编码减少搜索空间。其声称，尽管经典SAT属于NP完全问题且缺乏高效解法（NP ≠ P），但通过耦合量子布尔变量的量子算法可实现线性时间复杂度，意味着在量子计算下所有NP问题均可在O(n)时间内求解。

ABSTRACT

This paper presents a complete algorithmic study of the decision Boolean Satisfiability Problem under the classical computation and quantum computation theories. The paper depicts deterministic and probabilistic algorithms, propositions of their properties and the main result is that the problem has not an efficient algorithm (NP is not P). Novel quantum algorithms and propositions depict that the complexity by quantum computation approach for solving the Boolean Satisfiability Problem or any NP problem is lineal time.

研究动机与目标

• 在经典与量子计算理论下分析布尔可满足性问题（SAT）。
• 证明对于SAT不存在高效的经典算法，从而支持NP ≠ P的猜想。
• 开发一种量子算法框架，通过量子布尔变量耦合，实现SAT及任意NP问题的线性时间求解。
• 引入简单SAT（SSAT）公式，将搜索空间从{0,1,2}ⁿ缩减至{0,1}ⁿ，以实现算法简化。
• 为量子计算作为解决NP问题高效性的范式转变建立理论基础。

提出的方法

• 通过将子句映射为二进制字符串，将SAT(n,m)约简为简单SAT（SSAT）问题，限制变量仅取“存在”或“真/假”状态。
• 采用三进制编码系统，其中0 = ¬xᵢ，1 = xᵢ，2 = xᵢ不存在，将子句转换为三进制数。
• 使用不充分棋盘检测算法，通过检查所有2ⁿ个二进制组合是否被覆盖，来验证解的不存在性。
• 提出一种量子算法（算法5），通过将量子变量与SAT公式耦合，在O(1)时间内探索{0,1}ⁿ。
• 采用递归的量子比特赋值策略，通过在每一比特层级评估SAT，实现O(n)复杂度，逐步构建解。
• 引入验证算法（算法6），通过量子评估在O(n)时间内测试无解声明的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 布尔可满足性问题能否被约简为一种更简单的形式，以实现高效的算法分析？
• RQ2 是否存在一种确定性的经典算法，可在多项式时间内求解SAT？若不存在，原因是什么？
• RQ3 通过量子变量耦合，量子计算能否实现SAT及其他NP问题的线性时间求解？
• RQ4 量子叠加与纠缠在实现NP判定问题的指数级加速中起到何种作用？
• RQ5 在NP问题上，经典与量子计算模型之间是否存在计算复杂性的根本差异？

主要发现

• 本文结论为NP ≠ P，因为不存在高效的经典算法求解SAT，其依据是无法找到用于高效构造解的通用性质。
• 简单SAT（SSAT）公式将搜索空间从3ⁿ缩减至2ⁿ，从而可通过不充分棋盘检测实现解存在性的系统性分析。
• 经典SSAT算法运行时间为O(2ⁿ)，证实了在经典计算下SAT的指数复杂度。
• 量子算法5通过利用量子叠加与SAT公式的耦合，实现O(1)的决策复杂度。
• 量子算法5在O(n)时间内构建解，且解的验证过程直接且为多项式时间。
• 本文声称，在适当的量子计算设计下，所有NP问题均具有线性时间复杂度，意味着计算复杂性理论发生了根本性转变。