[论文解读] Classical and quantum dimers on the star lattice

J. O. Fjærestad|ArXiv.org|Nov 24, 2008

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 4

一句话总结

本论文在星形晶格上提出了一种精确可解的量子 dimer 模型（QDM），其基态为 Rokhsar-Kivelson（RK）态，采用类似于 kagome 晶格的 Z₂ 箭头表示和赝自旋表示。研究证明，dimer 之间的关联在超过最近邻三角形后消失，vison 之间的关联也消失，而单体-单体关联恒为 1/4，与 kagome 晶格的性质一致。所有精确结果通过 Pfaffian 方法和费米路径积分推导得出。

ABSTRACT

We consider dimers on the star lattice (aka the 3-12, Fisher, expanded kagome or triangle-honeycomb lattice). We show that dimer coverings on this lattice have Z_2 arrow and pseudo-spin representations analogous to those for the kagome lattice, and use these to construct an exactly solvable quantum dimer model (QDM) with a Rokhsar-Kivelson (RK) ground state. This QDM, first discussed by Moessner and Sondhi from a different point of view, is the star-lattice analogue of a kagome-lattice QDM analyzed by Misguich et al. We give a detailed analysis of various properties of the classical equal-weight dimer model on the star lattice, most of which are related to those of the RK state. Using both the arrow representation and the fermionic path integral formulation of the Pfaffian method, we calculate the number of dimer coverings, dimer occupation probabilities, and dimer, vison, and monomer correlation functions. We show that a dimer is uncorrelated with dimers further away than on neighboring triangles, that the vison-vison correlation function vanishes, and that the monomer-monomer correlation function equals 1/4 regardless of the monomer positions (with one exception). A key result in the fermionic approach is the vanishing of the two-point Green function beyond a short distance. These properties are very similar to those of dimers on the kagome lattice. We also discuss some generalizations involving arrow representations for dimer coverings on "general Fisher lattices" and their "reduced" lattices, with the kagome, squagome, and triangular kagome lattice being examples of the latter.

研究动机与目标

• 在星形晶格上构建一个具有 Rokhsar-Kivelson（RK）基态的精确可解量子 dimer 模型（QDM）。
• 将 kagome 晶格上的 Z₂ 箭头表示和赝自旋表示推广至星形晶格，以实现精确可解性。
• 利用 Pfaffian 方法和费米路径积分分析星形晶格上的经典 dimer 覆盖。
• 计算 dimer、vison 和单体关联函数，并确定其空间衰减特性。
• 将箭头表示推广至 'Fisher 晶格' 及其 '简化' 晶格，包括 kagome、squagome 和三角形 kagome 晶格。

提出的方法

• 在星形晶格上采用类似于 kagome 晶格的 Z₂ 箭头表示和赝自旋表示来描述 dimer 覆盖。
• 通过费米路径积分形式化方法使用 Pfaffian 方法计算 dimer 覆盖、dimer 占据概率和关联函数。
• 定义赝自旋变量 τℓ = ∏k σkℓ 以在箭头表示中强制实现偶数长度的环，从而导出约束条件 τℓτℓ+1 = 1。
• 通过统计一致的赝自旋构型和 dimer 实现方式，得出 dimer 覆盖总数为 𝒵 = 2^{N/6 + 1}。
• 通过 Fisher 构造将平面上的 Ising 模型映射为星形晶格上的经典 dimer 模型，推广至 'Fisher 晶格' 及其简化形式。
• 计算两点 Green 函数并证明其在短距离外消失，表明关联为短程。

实验结果

研究问题

• RQ1 星形晶格是否支持具有 Rokhsar-Kivelson 基态的精确可解量子 dimer 模型？
• RQ2 在星形晶格上，经典等权重 dimer 模型的关联函数（dimer、vison 和单体）为何？
• RQ3 dimer 之间的关联在星形晶格上如何随距离衰减？其是否表现出类似 kagome 晶格的短程序？
• RQ4 用于 kagome 晶格的 Z₂ 箭头表示和赝自旋表示能否推广至星形晶格及其他 'Fisher 晶格'？
• RQ5 星形晶格上 dimer 覆盖的确切数量是多少？其与晶格的拓扑结构有何关系？

主要发现

• 星形晶格上的 dimer 覆盖数精确为 𝒵 = 2^{N/6 + 1}，通过赝自旋约束和 dimer 实现方式推导得出。
• 当 dimer 之间相隔超过一个三角形时，dimer 之间的关联消失，表明其具有类似 kagome 晶格的短程序。
• vison-vison 关联函数恒为零，表明 RK 态中不存在长程 vison 有序。
• 单体-单体关联函数在所有距离上精确为 1/4（除一个例外情况外），表明单体完全解禁闭。
• 在费米路径积分形式化中，两点 Green 函数在短距离外消失，证实了关联为短程。
• 由于 Z₂ 赝自旋表示的存在且无势能项，星形晶格上的量子 dimer 模型是精确可解的，所有本征态和本征值均已知。