[论文解读] Classical and quantum representation theory

N.P. Landsman|ArXiv.org|Nov 23, 1994

Advanced Operator Algebra Research参考文献 38被引用 14

一句话总结

本文提出了一套严格的形变量子化框架，通过泊松代数与乔丹-李代数的表示理论，统一了经典力学与量子力学。它表明，与李代数丛（如配置空间的余切丛或主丛的规范群胚）相关的可观测量泊松代数，可被形变为一个$C^*$-代数的量子可观测量，其不可约表示在经典意义上对应于辛叶，在量子力学意义上则对应于结构群的酉表示。

ABSTRACT

These notes present an introduction to an analytic version of deformation quantization. The central point is to study algebras of physical observables and their irreducible representations. In classical mechanics one deals with real Poisson algebras, whereas in quantum mechanics the observables have the structure of a real non-associative Jordan-Lie algebra. The non-associativity is proportional to $\pl^2$, hence for $\pl aw 0$ one recovers a real Poisson algebra. This observation lies at the basis of `strict' deformation quantization, where one deforms a given Poisson algebra into a $C^*$-algebra, in such a way that the basic algebraic structures are preserved. Our main interest lies in degenerate Poisson algebras and their quantization by non-simple Jordan-Lie algebras. The traditional symplectic manifolds of classical mechanics, and their quantum counterparts (Hilbert spaces and operator algebras which act irreducibly) emerge from a generalized representation theory. This two-step procedure sheds considerable light on the subject. We discuss a large class of examples, in which the Poisson algebra canonically associated to an (integrable) Lie algebroid is deformed into the Jordan-Lie algebra of the corresponding Lie groupoid. A special case of this construction, which involves the gauge groupoid of a principal fibre bundle, describes the classical and quantum mechanics of a particle moving in an external gravitational and Yang-Mills field.

研究动机与目标

• 开发一种数学上严格、分析性的形变量子化方法，以在经典与量子力学中保持代数结构。
• 通过证明从李代数丛到其对应李群胚的过渡对应于量子化，统一经典与量子力学。
• 建立经典不可约表示（辛叶）与量子不可约表示（结构群的酉表示）之间的对应关系。
• 将斯通-冯诺依曼定理推广到具有内自由度的系统，如杨-米尔斯场与引力场中的粒子。
• 提供一种以可观测量与态为中心的表示理论基础，避免不必要的复数使用。

提出的方法

• 使用余切丛上光滑函数的泊松代数作为可观测量的类代数，配备泊松括号与点乘法。
• 引入乔丹-李代数作为泊松代数的量子类比，其非结合性与$\hbar^2$成正比，在$\hbar \to 0$极限下恢复泊松代数。
• 应用不可约表示的概念：经典表示对应于泊松流形的辛叶，量子表示对应于群胚$C^*$-代数的不可约酉表示。
• 从与规范群胚$P \times_H P$相关的泊松代数$C^\infty((T^*P)/H)$构造量子化映射至$C^*$-代数$C^*(P \times_H P)$，该代数同构于$C^*(Q \times Q) \otimes C^*(H)$。
• 依赖于李代数丛–李群胚对偶性：$P \times_H P$的李代数丛为$(TP)/H$，其对偶$\mathfrak{g}^*$携带自然的泊松结构。
• 证明了量子代数$JL(P \times_H P)$的表示理论与$JL(H)$的表示理论同构，其希尔伯特空间形式为$L^2(Q) \otimes \mathcal{H}_\chi$，其中$\pi_\chi$为$H$的不可约表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过保持其代数结构的表示理论框架，统一经典与量子力学？
• RQ2 经典不可约表示（辛叶）与量子不可约表示（群胚$C^*$-代数的酉表示）之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 李代数丛的泊松代数的形变量子化如何导致一个量子可观测量的$C^*$-代数？
• RQ4 规范群胚及其相关李代数丛在描述外场中具有内自由度的粒子时起什么作用？
• RQ5 能否通过群胚量子化将斯通-冯诺依曼唯一性定理推广到具有内自由度的系统？

主要发现

• 与规范群胚$P \times_H P$相关的经典可观测量代数$C^\infty((T^*P)/H)$同构于一个与杨-米尔斯规范场耦合的粒子的泊松代数。
• 量子代数$JL(P \times_H P) = C^*(P \times_H P)_{\rm sa}$同构于$C^*(Q \times Q) \otimes C^*(H)$，表示一个在$Q$上的粒子，其内自由度来自规范群$H$。
• 量子代数$JL(P \times_H P)$的不可约表示与$H$的不可约酉表示$\pi_\chi$一一对应，其希尔伯特空间为$\mathcal{H}^\chi \simeq L^2(Q) \otimes \mathcal{H}_\chi$。
• 经典不可约表示对应于$(T^*P)/H$的辛叶，其为$T^*Q$上的纤维丛，纤维同构于余伴随轨道$\mathcal{O} \subset \mathfrak{h}^*$。
• $C^\infty((T^*P)/H)$的表示理论与$C^\infty(\mathfrak{h}^*)$在李-泊松结构下的表示理论同构，将经典内自由度推广至余伴随轨道。
• 本文猜想，对于任意李群胚$G$及其李代数丛$\mathfrak{g}$，存在一个从$C^\infty(\mathfrak{g}^*)$到$JL(G) = C^*(G)_{\rm sa}$的量子化映射，从而将该构造推广至一般框架。