[论文解读] Classical and Umbral Moonshine: Connections and $p$-adic Properties

Ken Ono, Larry Rolen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文通过利用广义 Borcherds 乘积从影子月光中的模形式构造出单群月光中的 Hauptmoduln 的有理函数，从而在单群月光与影子月光之间建立了深层联系。关键结果是纯 A 型 Niemeier 格与单群中共轭类之间的一一对应，由此导出影子月光表示维数与单群月光影子 Hauptmoduln 取值之间的恒等式，同时证明这些 Borcherds 乘积的对数导数是具有特定模 p 算术性质的 p 进模形式。

ABSTRACT

The classical theory of monstrous moonshine describes the unexpected connection between the representation theory of the monster group $M$, the largest of the simple sporadic groups, and certain modular functions, called Hauptmodln. In particular, the $n$-th Fourier coefficient of Klein's $j$-function is the dimension of the grade $n$ part of a special infinite dimensional representation $V$ of the monster group. More generally the coefficients of Hauptmoduln are graded traces $T_g$ of $g \in M$ acting on $V$. Similar phenomena have been shown to hold for the Matthieu group $M_{24}$, but instead of modular functions, mock modular forms must be used. This has been conjecturally generalized even further, to umbral moonshine, which associates to each of the 23 Niemeier lattices a finite group, infinite dimensional representation, and mock modular form. We use generalized Borcherds products to relate monstrous moonshine and umbral moonshine. Namely, we use mock modular forms from umbral moonshine to construct via generalized Borcherds products rational functions of the Hauptmoduln $T_g$ from monstrous moonshine. This allows us to associate to each pure $A$-type Niemeier lattice a conjugacy class $g$ of the monster group, and gives rise to identities relating dimensions of representations from umbral moonshine to values of $T_g$. We also show that the logarithmic derivatives of the Borcherds products are $p$-adic modular forms for certain primes $p$ and describe some of the resulting properties of their coefficients modulo $p$.

研究动机与目标

• 通过使用广义 Borcherds 乘积的构造，统一单群月光与影子月光。
• 建立纯 A 型 Niemeier 格与单群中共轭类之间的一一对应关系。
• 推导出影子月光表示维数与单群月光影子 Hauptmoduln 取值之间的恒等式。
• 研究由影子月光构造的 Borcherds 乘积的对数导数的 p 进性质。
• 证明这些对数导数是具有模 p 下受控系数的 p 进模形式。

提出的方法

• 利用与 Niemeier 格相关的影子月光中的模形式构造广义 Borcherds 乘积。
• 使用这些乘积生成单群月光中 Hauptmoduln T_g 的有理函数。
• 借助调和 Maass 形式与 Appell-Lerch 和的理论来定义和操作模形式。
• 应用 Serre 关于模素数幂的非零傅里叶系数密度的定理，分析 p 进行为。
• 利用雅可比 theta 函数与权为 0、指标为 m−1 的弱雅可比形式，定义基础模形式对象。
• 完成 Appell-Lerch 和，形成实解析雅可比形式，这对于构造 Borcherds 乘积至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用影子月光中的模形式构造出单群月光中 Hauptmoduln 的有理函数？
• RQ2 纯 A 型 Niemeier 格与单群中共轭类之间的精确对应关系是什么？
• RQ3 所构造的 Borcherds 乘积的对数导数是否为某些素数 p 的 p 进模形式？
• RQ4 这些 p 进模形式的傅里叶系数在模 p 下表现出何种算术性质？
• RQ5 能否推导出将影子月光表示维数与单群月光影子 Hauptmoduln 取值联系起来的恒等式？

主要发现

• 该构造在纯 A 型 Niemeier 格与单群中的共轭类之间建立了一一对应，将影子月光与单群月光的结构联系起来。
• 由此产生的 Hauptmoduln T_g 的有理函数编码了影子月光表示维数与 T_g 在特定点取值之间的恒等式。
• 证明了广义 Borcherds 乘积的对数导数是某些素数 p 的 p 进模形式。
• 对每个这样的素数 p，这些 p 进模形式的傅里叶系数满足密度界：满足 a_n 不≡ 0 mod p^m 且 n ≤ X 的 n 的个数为 O(X / (log X)^α_m)，其中 α_m > 0。
• 这些 p 进模形式的系数在模 p 下表现出受控的算术行为，与 Serre 关于非零系数的定理一致。
• 该方法成功地通过模形式与 Borcherds 乘积，将两种不同的月光理论统一起来。