[论文解读] Classical computing, quantum computing, and Shor's factoring algorithm

Yuri I. Manin|ArXiv.org|Mar 2, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 40

一句话总结

本文探讨了量子计算的基础原理，强调其通过量子并行性和Shor因数分解算法在计算能力上超越经典计算的潜力。研究证明，经典计算中难以解决的质因数分解问题，可在量子计算机上以多项式时间求解，这在计算复杂性与量子算法设计领域具有突破性意义。

ABSTRACT

This is an expository talk written for the Bourbaki Seminar. After a brief introduction, Section 1 discusses in the categorical language the structure of the classical deterministic computations. Basic notions of complexity icluding the P/NP problem are reviewed. Section 2 introduces the notion of quantum parallelism and explains the main issues of quantum computing. Section 3 is devoted to four quantum subroutines: initialization, quantum computing of classical Boolean functions, quantum Fourier transform, and Grover's search algorithm. The central Section 4 explains Shor's factoring algorithm. Section 5 relates Kolmogorov's complexity to the spectral properties of computable function. Appendix contributes to the prehistory of quantum computing.

研究动机与目标

• 建立量子计算作为比经典计算更强大计算模型的理论基础。
• 研究量子算法（特别是Shor因数分解算法）在突破经典计算极限方面的可行性与影响。
• 探索量子并行性与幺正演化在实现特定问题指数级加速中的作用。
• 考察量子力学与计算复杂性之间的相互作用，尤其在数论与密码学背景下的表现。
• 提出量子计算可能为模拟量子系统和求解困难的组合优化问题所面临的指数级资源需求提供解决方案。

提出的方法

• 利用有限维希尔伯特空间中的量子图灵机框架与幺正演化来建模量子计算。
• 应用量子并行性的概念，即量子计算机可同时对叠加态中的所有输入评估函数。
• 采用量子子程序（如量子傅里叶变换与相位估计算法），这些是Shor算法的核心组成部分。
• 引入使用量子线路以可逆方式计算经典可计算函数的方法，以解决量子可逆性问题。
• 分析由递归置换导出的幺正算符的谱性质，将其与量子图灵机模型联系起来。
• 使用柯尔莫哥洛夫复杂度作为理论工具，以理解可计算函数的结构及其量子表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子计算机能否在多项式时间内解决经典计算中难以处理的问题，例如质因数分解？
• RQ2 量子叠加与纠缠在实现超越经典极限的计算加速中起到何种作用？
• RQ3 经典算法在何种程度上可被改编以适用于量子计算，同时保持可逆性与幺正性？
• RQ4 鉴于大脑表现出的明显经典行为，量子计算在多大程度上可模拟认知过程？
• RQ5 量子复杂性理论对模拟量子系统与开发新型量子算法有何影响？

主要发现

• Shor算法使质因数分解在量子计算机上以多项式时间完成，这与最佳经典算法所需的指数时间形成鲜明对比。
• 量子并行性使量子计算机能够同时对叠加态中的所有输入评估函数，从而在某些问题上实现指数级加速。
• 量子傅里叶变换是Shor算法中的关键子程序，可高效实现周期查找，这对因数分解至关重要。
• 由于量子态空间的指数维数，量子计算可比经典计算机更高效地模拟量子系统。
• 由递归置换导出的幺正算符的使用，暗示了一种具有结构化动力学的量子图灵机理论框架。
• 柯尔莫哥洛夫复杂度为可计算函数的结构提供了洞见，表明实际计算聚焦于低复杂度函数，而这些函数可能更易于实现量子加速。