[论文解读] Classical derived functors as fully faithful embeddings

Pedro Nicol, Manuel Saorı́n|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文提供了经典导出函子——具体而言，总左导出函子 $?⊗^\mathbf{L}_B T^\bullet$ 与总右导出函子 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ —— 在结合交换结合幺半群代数的导出范畴之间为完全忠实的必要与充分条件。文章建立了与倾斜理论及黏合结构（recollement）的联系，表明完全忠实性等价于双模 $T^\bullet$ 上的广义半倾斜或瓦卡穆茨倾斜条件，从而解决了与经典瓦卡穆茨倾斜问题之间的关联。

ABSTRACT

Given associative unital algebras $A$ and $B$ and a complex $T^\bullet$ of $B-A-$bi\-modules, we give necessary and sufficient conditions for the total derived functors, $\Rh_A(T^\bullet,?):\D(A)\longrightarrow\D(B)$ and $?\Lt_BT^\bullet:\D(B)\longrightarrow\D(A)$, to be fully faithful. We also give criteria for these functors to be one of the fully faithful functors appearing in a recollement of derived categories. In the case when $T^\bullet$ is just a $B-A-$bimodule, we connect the results with (infinite dimensional) tilting theory and show that some open question on the fully faithfulness of $\Rh_A(T,?)$ is related to the classical Wakamatsu tilting problem.

研究动机与目标

• 确定导出函子 $?⊗^\mathbf{L}_B T^\bullet$ 与 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ 在代数导出范畴之间为完全忠实的必要与充分条件。
• 刻画这些函子在导出范畴的黏合结构中出现的条件。
• 将 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T, ?)$ 的完全忠实性与广义倾斜及瓦卡穆茨倾斜模联系起来，尤其在无限维情形下。
• 将 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T, ?)$ 的完全忠实性与经典瓦卡穆茨倾斜问题相联系。

提出的方法

• 将经典导出函子 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ 与 $?⊗^\mathbf{L}_B T^\bullet$ 视为从导出范畴 $\mathcal{D}(A)$ 到 $\mathcal{D}(B)$ 的函子。
• 通过高阶 Ext 群的消失性与自同态代数的同构性，应用广义半倾斜模的概念。
• 利用投射化解与伴随性质，分析导出函子在紧致对象上的行为。
• 利用自然变换 $\sigma: \text{Id} \to \text{Hom}_{B^{op}}(\text{Hom}_A(?, T), T)$ 及其同构性质，建立对偶性。
• 通过识别 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ 或 $?⊗^\mathbf{L}_B T^\bullet$ 何时作为黏合结构中的完全忠实函子 $i_*$、$j_*$ 等，分析黏合结构。
• 将问题约化为 $T^\bullet$ 上的模论条件，如 $\text{Ext}^p_A(T,T) = 0$ 对所有 $p > 0$ 成立，以及代数同构 $B \cong \text{End}_{\mathcal{D}(A)}(T^\bullet)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，导出函子 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ 在代数的导出范畴之间为完全忠实？
• RQ2 函子 $?⊗^\mathbf{L}_B T^\bullet$ 何时成为完全忠实？这与倾斜理论有何关联？
• RQ3 什么条件决定了 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ 或 $?⊗^\mathbf{L}_B T^\bullet$ 在导出范畴的黏合结构中出现？
• RQ4 如何将 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T, ?)$ 的完全忠实性与广义瓦卡穆茨倾斜问题联系起来？
• RQ5 在完全忠实条件下，何种条件可确保导出函子保持紧致对象？

主要发现

• 导出函子 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ 为完全忠实，当且仅当 $T^\bullet_A$ 是广义半倾斜模，且典范代数同态 $B \to \text{End}_{\mathcal{D}(A)}(T^\bullet)$ 是同构。
• 函子 $?⊗^\mathbf{L}_B T^\bullet$ 为完全忠实，当且仅当 $T^\bullet_A$ 是广义半倾斜模，且 $A \to \text{End}_{B^{op}}(T)^{op}$ 是同构。
• 若 $T_A$ 是广义瓦卡穆茨倾斜模，且 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T, ?)$ 为完全忠实，则 $T_A$ 是广义半倾斜模。
• 若 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T, ?)$ 为完全忠实，则当 $\text{Ext}^p_A(T,T) = 0$ 且 $\text{Ext}^p_{B^{op}}(T,T) = 0$ 对所有 $p > 0$ 成立，且自同态代数分别同构于 $A$ 与 $B$ 时，该函子保持紧致对象。
• 当在 $\text{add}(T)$ 中的模上取值时，典范自然变换 $\sigma: \text{Id} \to \text{Hom}_{B^{op}}(\text{Hom}_A(?, T), T)$ 是同构，这对证明对偶性与完全忠实性至关重要。
• 当且仅当 $T^\bullet$ 是满足自同态代数同构条件的广义半倾斜模时，存在一个以 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ 作为完全忠实函子之一的 $\mathcal{D}(A)$ 与 $\mathcal{D}(B)$ 之间的黏合结构。