[论文解读] Classical Extensions, Classical Representations and Bayesian Updating in Quantum Mechanics

Guido Bacciagaluppi|ArXiv.org|Mar 7, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文探讨了量子力学的经典扩展与经典表示，以将量子测量建模为贝叶斯更新。结果表明，在标准经典扩展中，测量下的量子态坍缩与经典效应下的贝叶斯更新极为相似；而在均匀经典表示中，类比关系虽不那么直接，但仍具意义，为理解量子贝叶斯主义提供了经典框架。

ABSTRACT

I review the formalism of classical extensions of quantum mechanics introduced by Beltrametti and Bugajski, and compare it to the classical representations discussed e.g. by Busch, Hellwig and Stulpe and recently used by Fuchs in his discussion of quantum mechanics in terms of standard quantum measurements. I treat the problem of finding Bayesian analogues of the state transition associated with measurement in the canonical classical extension as well as in the related 'uniform' classical representation. In the classical extension, the analogy is extremely good.

研究动机与目标

• 比较贝尔特拉梅蒂与布加斯基的经典扩展与经典表示在操作量子理论背景下的表现。
• 研究量子测量跃迁是否可在经典概率框架中解释为贝叶斯更新。
• 评估测量下量子态坍缩与经典系统中贝叶斯推理的相似程度。
• 阐明经典表示与扩展中非唯一性与结构的作用，以建模量子行为。

提出的方法

• 使用凸集形式化方法，将量子态表示为密度算子，可观测量表示为映射到概率测度的仿射映射。
• 应用经典扩展形式化，其中量子系统被嵌入更大的经典相空间，并通过满射约化映射实现。
• 引入“标准”经典扩展的概念，其中量子测量对应于具有经典效应函数的古典贝叶斯更新。
• 分析均匀经典表示，表明尽管贝叶斯更新不那么直接，但其过程仍包含一次经典更新，随后是非线性扰动。
• 推导测量后状态跃迁的显式表达式，表明更新后的态对应于具有经典效应的贝叶斯更新，随后进行与态相关的变换。
• 使用算子 $ A_d $ 和效应 $ E_d $ 定义跃迁规则 $ \rho \mapsto \rho^d = \frac{1}{\text{tr}(\rho E_d)} A_d \rho A_d^* $，该规则被解释为具有经典效应的贝叶斯更新。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在经典概率框架中将量子测量过程建模为贝叶斯更新？
• RQ2 经典扩展与经典表示在重现量子测量统计特性方面的能力如何比较？
• RQ3 标准经典扩展在建立量子测量与贝叶斯推理之间自然类比关系中起什么作用？
• RQ4 经典表示的非唯一性如何影响将量子态坍缩解释为贝叶斯更新的理解？
• RQ5 标准扩展中测量引入的扰动在多大程度上推广了经典贝叶斯法则？

主要发现

• 在标准经典扩展中，量子测量跃迁 $ \rho \mapsto \rho^d $ 恰好对应于贝叶斯更新 $ p(\omega) \mapsto \frac{p(\omega) \langle \omega | E_d | \omega \rangle}{\int p(\omega) \langle \omega | E_d | \omega \rangle d\omega} $，随后是与态无关的非线性扰动。
• 经典效应 $ \langle \omega | E_d | \omega \rangle $ 仅依赖于可观测量 $ E_d $，使得更新过程可解释为具有经典效应的古典贝叶斯更新。
• 在均匀经典表示中，更新涉及经典效应 $ e_d(\omega) $，但由于 $ e_d^i $ 通常不为正，因此跃迁与贝叶斯更新的关系不那么直接。
• 标准扩展中的完整跃迁包括一次酉重调，这对于在测量后恢复正确的量子态至关重要。
• 量子测量与贝叶斯更新之间的类比在标准经典扩展中最强，因为其更新规则在操作和形式上均与贝叶斯法则类似。
• 尽管框架具有经典外观，复合系统的相空间并不分解为 $ \Omega_1 \times \Omega_2 $，表明纠缠系统中仍存在非经典特征。