[论文解读] Classical field theory limit of many-body quantum Gibbs states in 2D and 3D

Mathieu Lewin, Phan Thành Nam+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2018

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 186被引用 18

一句话总结

本文严格推导了二维和三维中多体量子吉布斯态的经典场论极限，表明在大系统中，正则系综的量子吉布斯态收敛于非线性薛定谔方程的非线性、Wick正则化的吉布斯测度。该收敛性在配分函数和约化密度矩阵上得到确立，临界化学势提供了必要的重整化，以处理发散的排斥相互作用。

ABSTRACT

We provide a rigorous derivation of nonlinear Gibbs measures in two and three space dimensions, starting from many-body quantum systems in thermal equilibrium. More precisely, we prove that the grand-canonical Gibbs state of a large bosonic quantum system converges to the Gibbs measure of a nonlinear Schr{\\"o}dinger-type classical field theory, in terms of partition functions and reduced density matrices. The Gibbs measure thus describes the behavior of the infinite Bose gas at criticality, that is, close to the phase transition to a Bose-Einstein condensate. The Gibbs measure is concentrated on singular distributions and has to be appropriately renormalized, while the quantum system is well defined without any renormalization. By tuning a single real parameter (the chemical potential), we obtain a counter-term for the diverging repulsive interactions which provides the desired Wick renormalization of the limit classical theory. The proof relies on a new estimate on the entropy relative to quasi-free states and a novel method to control quantum variances.

研究动机与目标

• 在二维和三维空间中，严格推导多体量子吉布斯态的经典场论极限。
• 确立量子配分函数和约化密度矩阵向其经典对应物的收敛性。
• 阐明化学势在经典极限中作为抵消项，实现Wick重整化的作用。
• 通过量子-经典对应关系，解决经典测度中奇异分布的问题。
• 证明经典吉布斯测度在接近玻色-爱因斯坦凝聚相变点时自然出现。

提出的方法

• 证明依赖于相对于准自由量子态的相对熵的新估计。
• 提出一种新方法，利用一阶矩和对易子估计来控制量子方差。
• 作者采用变分法，从上下两个方向有界自由能。
• 他们运用局域化技术和半经典分析，将无限维问题简化为有限维估计。
• 通过收集矩和方差的界，建立密度矩阵在希尔伯特-施密特范数和迹类范数下的收敛性。
• 通过调节化学势以抵消发散项，从而在经典极限中有效实现Wick重整化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维和三维中，大玻色子系统的正则系综量子吉布斯态如何收敛为经典非线性吉布斯测度？
• RQ2 化学势在经典极限中如何对发散相互作用实现重整化？
• RQ3 是否能从一个无发散的定义良好的量子系统中推导出奇异且需重整化的经典测度？
• RQ4 在热力学极限和平均场极限下，约化密度矩阵的收敛性如何建立？
• RQ5 在经典场论极限中，量子自由能与经典作用泛函之间的确切关系是什么？

主要发现

• 量子正则系综吉布斯态收敛于形式为 $ d\tilde{\nu}(u) = \frac{1}{Z} e^{-\frac{1}{2} \tilde{D}[u]} d\tilde{\nu}_0(u) $ 的经典非线性吉布斯测度，其中 $ \tilde{D}[u] $ 为重整化后的相互作用能。
• 该经典测度集中在奇异分布上，需进行Wick重整化，而这一过程通过在量子系统中调节化学势动态生成。
• 化学势作为抵消项，可消除相互作用能中的发散，确保收敛至一个定义良好的经典理论。
• 该收敛性对均匀系统和受限（非均匀）系统均成立，且适用相同的重整化机制。
• 单体约化密度矩阵在迹类范数下收敛，所有高阶密度矩阵在希尔伯特-施密特范数下收敛。
• 量子系统的自由能收敛至经典非线性薛定谔方程的作用泛函，在平均场极限下实现精确渐近匹配。