[论文解读] Classical geodesics from the canonical quantisation of spacetime coordinates

Iñaki Garay, Salvador Robles-Pérez|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文提出了一般相对论中时空坐标的规范化量子化，表明通过该程序推导出的量子克莱因-高斯方程可导出经典测地线。通过将莫泊丢依原理推广，将度规 $ g_{\mu\nu} $ 所描述的弯曲时空中的测地线与一个共形相关时空中的非仿射测地线（带有有效势）联系起来，作者在牛顿极限下既恢复了经典测地线方程，也恢复了薛定谔方程，从而在单一框架下统一了量子场论、广义相对论与非相对论量子力学。

ABSTRACT

A canonical quantisation of the coordinates of the spacetime within the general relativity theory is proposed. This quantisation will depend on the observer but it provides an interesting perspective on the problem of relating the non-relativistic and classical limits of a possible quantum gravity theory. In this sense, within this formalism, it is possible to recover from the quantum equation satisfied by a test field the classical geodesics of the corresponding spacetime. On the other hand, the Schrödinger equation is recovered in the Newtonian limit. A key ingredient for this procedure is a generalization of the Maupertuis principle, that is, the possibility of describing the geodesics of a given metric as the non-affine geodesics of other conformal metric under the action of a potential.

研究动机与目标

• 探索一般相对论中一种观测者相关的时空坐标规范量子化方法，同时为量子引力提供桥梁。
• 证明通过该量子化程序获得的量子克莱因-高斯方程可恢复经典测地线。
• 在单一形式体系中统一引力与物质场的类经典、量子及非相对论极限。
• 表明经量子化的时空在牛顿极限下可导出包含由度规时间分量导出的势能的薛定谔方程。

提出的方法

• 对时空坐标应用规范量子化，使用重参数化不变作用量，导出生成克莱因-高斯型方程的哈密顿约束。
• 利用推广的莫泊丢依原理，将度规 $ g_{\mu\nu} $ 所描述时空中的测地线映射为共形相关时空中带有势 $ \tilde{V}(x) $ 的非仿射测地线。
• 构造一个满足由时空坐标规范量子化导出的含 $ \hbar $ 依赖系数的克莱因-高斯方程的量子波函数 $ \phi $。
• 对 $ \hbar $ 进行半经典展开，表明零阶项重现了该时空的类经典测地线方程。
• 通过取 $ \hbar \to 0 $ 并识别有效势 $ \tilde{V}(x) $，导出牛顿极限，从而在弯曲空间中得到薛定谔方程。
• 将该形式体系应用于静态坐标下的德西特时空，表明测地线对应于在弯曲三维空间中受中心势作用的运动。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从通过时空坐标规范量子化获得的量子方程中导出弯曲时空中的经典测地线？
• RQ2 推广的莫泊丢依原理如何将给定时空中的测地线与共形相关时空中带有有效势的轨迹联系起来？
• RQ3 时空坐标的规范量子化是否会在非相对论极限下导出薛定谔方程？
• RQ4 德西特时空中的邦奇-戴维斯真空态能否用于恢复经典测地线方程？
• RQ5 克莱因-高斯方程中包含 $ \hbar $ 的方式如何使经典极限与非相对论极限得以恢复？

主要发现

• 量子波函数在 $ \hbar $ 展开中的零阶项满足该时空的类经典测地线方程，表明经典轨迹可从量子时空坐标中涌现。
• 在静态坐标下的德西特时空中，通过量子化时空坐标的邦奇-戴维斯真空态成功恢复了测地线方程，验证了该形式体系的一致性。
• 经量子化的时空在牛顿极限下导出的薛定谔方程包含由度规时间分量导出的势 $ \tilde{V}(x) $，与预期的非相对论动力学一致。
• 推广的莫泊丢依原理使得弯曲时空中的测地线可被描述为共形相关时空中带有势的非仿射测地线，从而在几何上统一了经典与量子描述。
• 由时空坐标规范量子化导出的克莱因-高斯方程包含了物质场与时空几何的信息，因为测地线方程被编码于含 $ \hbar $ 依赖系数中。
• 该形式体系成功统一了类经典极限（测地线）、量子极限（克莱因-高斯方程）与非相对论极限（薛定谔方程），在所有物理 regime 中均表现出一致性。