[论文解读] Classical limit of the Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equations as hierarchy of isomonodromic deformations. Free fields approach

A. Levin, M. A. Olshanetsky|ArXiv.org|Sep 29, 1997

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 10被引用 18

一句话总结

本文通过自由场理论与哈密顿约化，建立了Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard (KZB) 方程在经典极限下作为等单变型形变（HID）层次的构造。通过在带标记点的黎曼曲面上对平坦联络在规范对称性和微分同胚作用下进行约化，推导出Lax方程与线性系统，其等单变型形变定义了HID，恢复了已知系统如Schlesinger方程与Painlevé VI方程，并在临界水平极限下与Hitchin系统相联系。

ABSTRACT

We investigate the classical limit of the Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equations, considered as a system of non-stationar Schröodinger equations on singular curves, where times are the moduli of curves. It has a form of reduced non-autonomous hamiltonian systems which include as particular examples the Schlesinger equations, Painlevé VI equation and their generalizations. In general case, they are defined as hierarchies of isomonodromic deformations (HID) with respect to changing the moduli of underling curves. HID are accompanying with the Whitham hierarchies. The phase space of HID is the space of flat connections of $G$ bundles with some additional data in the marked points. HID can be derived from some free field theory by the hamiltonian reduction under the action of the gauge symmetries and subsequent factorization with respect to diffeomorphisms of curve. This approach allows to define the Lax equations associated with HID and the linear system whose isomonodromic deformations are provided by HID. In addition, it leads to description of solutions of HID by the projection method. In some special limit HID convert into the Hitchin systems. In particular, for $\SL$ bundles over elliptic curves with a marked point we obtain in this limit the elliptic Calogero $N$-body system

研究动机与目标

• 通过研究KZB方程在非临界水平下的经典极限，将Hitchin程序拓展至临界水平之外，将其视为非自治哈密顿系统。
• 通过辛约化与曲线微分同胚的分解，从自由场理论推导出等单变型形变（HID）的层次结构。
• 通过Lax表示与线性系统，建立HID与已知可积系统（如Schlesinger方程与Painlevé VI方程）之间的对应关系。
• 利用投影方法描述HID的解，将已知的解法技术推广至高亏格曲线情形。
• 证明在临界水平极限下，HID约化为Hitchin系统，包括在椭圆曲线上带标记点的SL(N,C)丛情形下的椭圆Calogero N体系统。

提出的方法

• 在带标记点的曲线模空间上构造一个丛，其纤维为平坦联络(A, A̅)与标记点处的余伴随轨道。
• 在全空间上定义一个退化的闭2-形式ω，其在纤维上非退化，从而建立哈密顿结构。
• 通过联络的规范对称性进行哈密顿约化，随后对曲线的微分同胚进行分解，得到平坦联络的模空间。
• 推导出时间依赖的二次Hitchin哈密顿量，作为HID的核心，其时间参数由模空间M_{g,n}的切向量给出。
• 构造一个辅助线性系统，其单值性在形变下保持不变，表明HID是等单变型形变的一致性条件。
• 应用投影方法，通过线性运算描述HID的解，将有理曲线与椭圆曲线情形下的技术推广至一般情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 KZB方程的经典极限如何被解释为临界水平之外的等单变型形变层次？
• RQ2 自由场理论与哈密顿约化在构造HID的相空间与动力学中起何种作用？
• RQ3 所得HID系统与已知可积系统（如Schlesinger方程与Painlevé VI方程）之间有何关系？
• RQ4 HID在临界水平极限下如何约化为Hitchin系统？这对椭圆Calogero系统有何启示？
• RQ5 HID的解能否通过线性投影方法系统性地描述？该方法在高亏格曲线情形下如何推广？

主要发现

• KZB方程的经典极限产生非自治哈密顿系统——HID，其时间参数为模空间M_{g,n}切空间的坐标。
• HID通过自由场理论的哈密顿约化推导得出，其相空间由平坦G丛联络与标记点处的余伴随轨道构成。
• HID的Lax表示与线性系统被显式构造，证实了这些方程是等单变型形变的一致性条件。
• 在亏格零情形下，该构造重现Schlesinger方程；在亏格一、一个标记点且SL(2,C)情形下，得到Painlevé VI方程族。
• 在临界水平极限（κ=0）下，HID约化为Hitchin系统；对于椭圆曲线上带一个标记点的SL(N,C)丛，系统退化为椭圆Calogero N体系统。
• HID的解通过投影方法描述，这是一种线性过程，将解法技术推广至高亏格与高秩情形。