[论文解读] Classical $\mathcal{W}$-algebras for centralizers

Alexander Molev, E. Ragoucy|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2019

Algebraic structures and combinatorial models被引用 1

一句话总结

本文引入了一类与 gl_N 中任意幂零元 e 的中心化子 a = g_e 相关的新经典 W-代数 W(a)，通过 Miura 型映射将其构造为 Poisson vertex 代数。证明了 W(a) 是无限多个变量的多项式代数，并给出了显式的自由生成元，建立了 W(a) 与仿射顶点代数 V(a) 在临界水平下的中心之间的同构关系。

ABSTRACT

We introduce a new family of Poisson vertex algebras $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ analogous to the classical $\mathcal{W}$-algebras. The algebra $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ is associated with the centralizer $\mathfrak{a}$ of an arbitrary nilpotent element in $\mathfrak{gl}_N$. We show that $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ is an algebra of polynomials in infinitely many variables and produce its free generators in an explicit form. This implies that $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ is isomorphic to the center at the critical level of the affine vertex algebra associated with $\mathfrak{a}$.

研究动机与目标

• 为 gl_N 中幂零元的中心化子 a = g_e 定义一类新的经典 W-代数 W(a)。
• 证明 W(a) 是无限多个变量的多项式代数，并给出显式的自由生成元。
• 建立 W(a) 与仿射顶点代数 V(a) 在临界水平下的中心之间的 Miura 型同构。
• 将先前关于类型 A 中主幂零元的经典 W-代数结果推广至任意幂零轨道。

提出的方法

• 定义 gl_N 中幂零元 e 的中心化子 a = g_e，其若当块大小满足 λ1 ≤ · · · ≤ λn。
• 在 a 上赋予一个不变的对称双线性型 (·|·)，并构造由 E(r)_ij[s] 组成的微分多项式代数 V(a)。
• 在 V(a) 上定义一个 λ-括号，扩展其李代数结构，满足线性性、反对称性和莱布尼茨法则。
• 引入三角分解 a = n⁻ ⊕ h ⊕ n⁺，并定义同态 ρ: V(a) → V(p)，其中 p = n⁻ ⊕ h。
• 在 V(p) 中定义 W(a) ⊂ V(p) 为所有满足 ρ{X_λ P} = 0 对所有 X ∈ n⁺ 成立的元素 P 的子代数。
• 通过由 E(r)_ij(z) 构成的矩阵的列行列式显式构造 W(a) 的自由生成元，并证明其代数独立性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地构造出 gl_N 中任意幂零元中心化子的古典 W-代数？
• RQ2 所得到的 W-代数 W(a) 是否同构于仿射顶点代数 V(a) 在临界水平下的中心？
• RQ3 能否用微分多项式显式构造出 W(a) 的自由生成元？
• RQ4 从 W(a) 到 V(a) 中心的 Miura 型映射是否给出一个良定义的同构？
• RQ5 W(a) 的生成元与临界水平顶点代数中的 Segal–Sugawara 向量有何关系？

主要发现

• W(a) 同构于仿射顶点代数 V(a) 在临界水平下的中心，建立了经典 W-代数与表示理论之间的直接联系。
• 代数 W(a) 是无限多个变量的多项式代数，其显式自由生成元由涉及 E(r)_ij(z) 的矩阵的列行列式给出。
• 生成元 w(r)_k ∈ W(a) 构造为矩阵 x + λiT + Eii(z) 的列行列式系数，且彼此代数独立。
• Miura 型映射 φ(r)_k ↦ w(r)_k 给出 V(a) 的中心 z(ba) 与 W(a) 之间的微分代数同构，其中 T ↦ ∂。
• 将投影 f: U(t⁻¹a[t⁻¹])₀ → U(t⁻¹h[t⁻¹]) 限制在 z(ba) 上是单射，确保了同构的良定义性。
• 生成元满足条件：r 满足 (3.1)，该条件指定了 φ(r)_k 属于中心的度数范围。