[论文解读] Classical Representations of Quantum Mechanics Related to Statistically Complete Observables

Werner Stulpe|ArXiv.org|Oct 16, 2006

Quantum Mechanics and Applications参考文献 54被引用 18

一句话总结

本文提出了一种基于统计完备可观测量的量子力学经典相空间表示，实现了从密度算符到相空间上非负概率密度的映射。它证明了由于Wigner定理的存在，严格满足所有经典公设（包括正确边缘分布）是不可能的，但近似满足是可行的，且量子动力学可通过去量化映射重新表述为相空间上的Liouville型方程。

ABSTRACT

We present a reformulation of quantum mechanics in terms of probability measures and functions on a general classical sample space and in particular in terms of probability densities and functions on phase space. The basis of our proceeding is the existence of so-called statistically complete observables and the duality between the state spaces and the spaces of the observables, the latter holding in the quantum as well as in the classical case. In the phase-space context, we further discuss joint position-momentum observables, Hilbert spaces of infinitely differentiable functions on phase space, and dequantizations. Finally, the relation of quantum dynamics to the classical Liouville dynamics is investigated.

研究动机与目标

• 使用统计完备可观测量在相空间上发展量子力学的经典表示。
• 解决将量子态表示为相空间上非负概率密度的根本挑战。
• 研究量子期望值可表示为相空间函数积分的条件。
• 探讨将量子动力学重新表述为相空间上经典Liouville方程的可能性。
• 阐明Wigner定理对具有非负密度的精确经典表示所施加的限制。

提出的方法

• 构建从密度算符到相空间上非负概率密度的映射 $W \mapsto \rho_W$。
• 施加公设：仿射且单射的映射，通过 $\mathrm{tr}(WA) = \int \rho_W f_A \, dq\,dp$ 表示期望值，并要求正确的位置/动量边缘分布。
• 使用统计完备可观测量以确保单射性，并实现去量化映射 $A \mapsto f_A$。
• 应用群表示和相干态在相空间上生成连续的恒等分解。
• 通过变换 $\hat{T}$ 将von Neumann方程映射到相空间，推导出时间演化的Liouville型方程。
• 证明对于谐振子，在特定条件下，相空间动力学满足 $\frac{\partial \rho_t}{\partial t} = -\{H, \rho_t\}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用非负概率密度在经典相空间上一致地表示量子力学？
• RQ2 量子期望值在多大程度上可表示为相空间函数的积分？
• RQ3 为何无法同时满足正确的边缘分布和非负密度？
• RQ4 如何将量子动力学重新表述为相空间上的经典Liouville方程？
• RQ5 统计完备可观测量在实现量子态经典表示中起到什么作用？

主要发现

• 存在一个映射 $W \mapsto \rho_W$，其精确满足公设 (i) 和 (ii)：即仿射且单射。
• 公设 (iii)，即通过相空间函数表示量子期望值，在有界算符下基本成立，对所有有界算符近似成立。
• 公设 (iv)，即要求正确的位置和动量边缘分布，由于Wigner定理的存在而无法精确满足。
• Wigner函数 $\rho^W_W$ 精确满足 (i)、(ii) 和 (iv)，但并非真正的概率密度，因其可取负值。
• 对于谐振子且 $\sigma = 1/\sqrt{2m\omega}$ 的情况，$\rho_t = \hat{T} \tau_t \hat{T}^{-1} \rho$ 的时间演化满足经典Liouville方程 $\frac{\partial \rho_t}{\partial t} = -\{H, \rho_t\}$。
• 仅在光滑性和定义域条件下，Liouville算符 $\hat{L}$ 的时间导数 $\dot{\rho}_t$ 与偏导数 $\frac{\partial \rho_t}{\partial t}$ 才完全一致，凸显了动力学中一个微妙的差异。