[论文解读] Classical shadows based on locally-entangled measurements

Matteo Ippoliti|arXiv (Cornell University)|May 18, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出基于随机局部纠缠测量的经典阴影——具体为贝尔态和GHZ基——并证明此类协议可降低估算泡利期望值的样本复杂度。通过调节测量基中的纠缠程度，该方法在许多算符上实现样本复杂度的二次改进（从∼3ᵏ降至∼3ᵏ/²），优于标准泡利阴影，并在特定任务中匹配或超越浅层阴影。

ABSTRACT

We study classical shadows protocols based on randomized measurements in $n$-qubit entangled bases, generalizing the random Pauli measurement protocol ($n = 1$). We show that entangled measurements ($n\geq 2$) enable nontrivial and potentially advantageous trade-offs in the sample complexity of learning Pauli expectation values. This is sharply illustrated by shadows based on two-qubit Bell measurements: the scaling of sample complexity with Pauli weight $k$ improves quadratically (from $\sim 3^k$ down to $\sim 3^{k/2}$) for many operators, while others become impossible to learn. Tuning the amount of entanglement in the measurement bases defines a family of protocols that interpolate between Pauli and Bell shadows, retaining some of the benefits of both. For large $n$, we show that randomized measurements in $n$-qubit GHZ bases further improve the best scaling to $\sim (3/2)^k$, albeit on an increasingly restricted set of operators. Despite their simplicity and lower hardware requirements, these protocols can match or outperform recently-introduced "shallow shadows" in some practically-relevant Pauli estimation tasks.

研究动机与目标

• 开发基于随机纠缠测量的经典阴影协议族，以改进估算泡利期望值的样本复杂度。
• 探索测量局部性、纠缠与样本效率在量子态学习中的权衡。
• 证明硬件高效的少体纠缠测量可匹配或超越更复杂的浅层阴影协议性能。
• 识别可实现特定算符类更好缩放的结构化测量集合，同时保持低硬件要求。

提出的方法

• 该协议使用基于n量子比特纠缠基（如贝尔态或GHZ态）的随机酉变换进行测量，推广了标准泡利阴影框架。
• 每个测量基均从局部纠缠的酉变换集合中选取，纠缠程度可通过基的选择进行调节。
• 经典后处理通过阴影通道构建反演快照，阴影范数由测量通道特征值的逆推导得出。
• 对于权重为k的泡利算符P，其阴影范数计算为‖P‖_sh² = 3ᵏ/²（贝尔测量）和(3/2)ᵏ（GHZ测量），反映改进的缩放特性。
• 该方法利用测量集合的泡利不变性，推导出算符相关的样本复杂度边界。
• 该框架在泡利阴影（n=1）与GHZ阴影（n较大）之间插值，中间协议在性能与算符覆盖范围之间提供可调的权衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 与标准泡利阴影相比，纠缠基中的随机测量是否能降低估算泡利期望值的样本复杂度？
• RQ2 测量基中纠缠程度的高低如何影响样本复杂度与可学习算符集合之间的权衡？
• RQ3 在实际泡利估计任务中，局部纠缠阴影在多大程度上可超越浅层阴影？
• RQ4 在纠缠测量协议下，不同类别的泡利算符的样本复杂度最优缩放为何？

主要发现

• 基于贝尔态的经典阴影将估算k权重泡利算符的样本复杂度从∼3ᵏ降低至∼3ᵏ/²，实现二次改进。
• 基于GHZ态的阴影进一步将缩放优化至∼(3/2)ᵏ（当n较大时），但仅适用于与GHZ基结构兼容的受限算符集合。
• 采用两量子比特贝尔测量的协议在仅需两量子比特纠缠门的情况下，显著降低了样本复杂度，具有硬件高效性。
• 对于特定算符类——尤其是1D中具有连续支持的算符——局部纠缠阴影在样本效率方面可超越浅层阴影。
• 通过调节测量基中纠缠程度，该方法在泡利阴影与Clifford类阴影之间实现插值，提供性能与通用性之间的灵活权衡。
• 该框架启用了一类新型态估计协议，兼具简洁性与强大性能，具有在近场量子设备上实现的潜力。