[论文解读] Classical Simulation of High Temperature Quantum Ising Models

Elizabeth Crosson, Samuel G. Slezak|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2020

Quantum many-body systems参考文献 27被引用 12

一句话总结

本文证明了在温度高于与系统尺寸无关的阈值时，采用世界线热浴更新的路径积分蒙特卡洛方法可为量子伊辛模型的配分函数提供全多项式时间近似方案（FPRAS）。当温度超过四倍局部耦合强度加上两倍最大相互作用度数（价数）时，该方法对 n 个量子比特的系统混合时间为 O(n log n)，从而实现了对稳态量子伊辛模型在高温区域的高效经典模拟。

ABSTRACT

We consider generalized quantum Ising models, including those which could describe disordered materials or quantum annealers, and we prove that for all temperatures above a system-size independent threshold the path integral Monte Carlo method based on worldline heat-bath updates always mixes to stationarity in time $\mathcal{O}(n \log n)$ for an $n$ qubit system, and therefore provides a fully polynomial-time approximation scheme for the partition function. This result holds whenever the temperature is greater than four plus twice the maximum interaction degree (valence) over all qubits, measured in units of the local coupling strength. For example, this implies that the classical simulation of the thermal state of a superconducting device modeling a frustrated quantum Ising model with maximum valence of 6 and coupling strengths of 1 GHz is always possible at temperatures above 800 mK. Despite the quantum system being at high temperature, the classical spin system resulting from the quantum-to-classical mapping contains strong couplings which cause the single-site Glauber dynamics to mix slowly, therefore this result depends on the use of worldline updates (which are a form of cluster updates that can be implemented efficiently). This result places definite constraints on the temperatures required for a quantum advantage in analog quantum simulation with various NISQ devices based on equilibrium states of quantum Ising models.

研究动机与目标

• 建立在高温下对量子伊辛模型进行经典模拟高效的条件。
• 确定路径积分蒙特卡洛结合世界线更新在何种温度阈值以上可实现快速混合，从而确保配分函数的多项式时间近似。
• 证明该结果与相互作用图结构无关，只要温度足够高即可。
• 基于量子伊辛哈密顿量的平衡态，阐明对 NISQ 时代设备进行经典模拟的局限性。
• 表明单点 Glauber 动力学因世界线上的强耦合而失效，因此必须采用类簇的更新方式对世界线进行更新。

提出的方法

• 本研究采用路径积分蒙特卡洛（PIMC）结合世界线热浴更新，模拟量子伊辛模型的热配分函数。
• 通过一次重采样整个世界线而非逐个更新自旋，世界线更新可避免临界慢化。
• 分析基于耦合论证和转移核之间总变差距离的界，以建立快速混合。
• 关键界值来自在单个世界线上不同的配置之间转移概率之比，该比值由相互作用项的指数形式决定。
• 利用依赖于最大耦合强度 J 和相互作用图最大度数 Δ 的漂移条件，对混合时间进行上界估计。
• 推导出快速混合的充分条件为 β ≤ (1/(4J)) log(2/Δ + 1)，该条件可确保谱间隙远离零。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过路径积分蒙特卡洛方法，对量子伊辛模型进行经典模拟在何种温度下变得高效？
• RQ2 为何在系统处于高温区域时，标准的单点 Glauber 动力学在模拟高温量子伊辛模型时仍会失效？
• RQ3 世界线热浴更新能否克服在量子伊辛模型经典映射中世界线强耦合导致的混合缓慢问题？
• RQ4 是否存在一个与系统尺寸无关的温度阈值，使得量子伊辛模型的配分函数可在多项式时间内被近似？
• RQ5 该方法能否推广至包含多体非对角项的更一般的泡利型哈密顿量？

主要发现

• 对于 n 个量子比特的系统，当温度高于与系统尺寸无关的阈值时，采用世界线热浴更新的路径积分蒙特卡洛方法在 O(n log n) 时间内实现混合至平稳态。
• 当逆温度 β 满足 β ≤ (1/(4J)) log(2/Δ + 1) 时，可保证快速混合，其中 J 为最大耦合强度，Δ 为最大相互作用度数。
• 该结果意味着，对于任意具有实耦合项的量子伊辛模型，只要温度足够高，其配分函数即可获得全多项式时间近似方案（FPRAS）。
• 对于最大价数为 6、耦合强度为 1 GHz 的超导器件，当温度高于 800 mK 时，可保证经典模拟的可行性。
• 即使在量子到经典映射后得到的自旋系统中存在强耦合，该方法仍保持高效，而这类强耦合通常会使单点动力学变慢。
• 关键洞见在于：世界线更新通过全局作用于整个世界线，避免了局部更新方案所面临的临界慢化，从而在强世界线耦合下仍能实现快速混合。