[论文解读] Classical vs Quantum Advice and Proofs Under Classically-Accessible Oracle

Xingjian Li, Qipeng Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 2

一句话总结

该论文构建了一个经典可访问的经典预言机，证明了在该预言机下，BQP/qpoly 严格包含 BQP/poly，且 QMA 严格包含 QCMA，从而展示了量子建议与经典建议、以及量子证明与经典证明之间的分离。作者采用基于伪随机函数和统计不可区分性的新颖技术，表明即使在经典预言机访问的限制下，经典算法也无法模拟量子优势，这是该设定下的首次此类分离，并为近期 Natarajan 和 Nirkhe 关于分布式预言机下 QMA 与 QCMA 的分离提供了另一种证明。

ABSTRACT

It is a long-standing open question to construct a classical oracle relative to which BQP/qpoly $ eq$ BQP/poly or QMA $ eq$ QCMA. In this paper, we construct classically-accessible classical oracles relative to which BQP/qpoly $ eq$ BQP/poly and QMA $ eq$ QCMA. Here, classically-accessible classical oracles are oracles that can be accessed only classically even for quantum algorithms. Based on a similar technique, we also show an alternative proof for the separation of QMA and QCMA relative to a distributional quantumly-accessible classical oracle, which was recently shown by Natarajan and Nirkhe.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：在经典预言机下，BQP/qpoly 是否严格包含 BQP/poly，且 QMA 是否严格包含 QCMA。
• 构建一个经典可访问的经典预言机——即量子算法仅能通过经典输入/输出查询预言机——使得在该预言机下，量子建议与量子证明相对于经典对应物具有可证明的优势。
• 为在分布式量子可访问经典预言机下 QMA 与 QCMA 的分离提供一种新证明技术，基于 Natarajan 和 Nirkhe 的近期成果。
• 证明即使在鲍勃可经典查询爱丽丝输入的条件下，经典单向通信复杂度仍保持超多项式，从而绕过先前通信复杂度障碍的已知限制。

提出的方法

• 构造一组随机函数 Hn: [n] × Σ → {0,1} 和一组字符串 rn ∈ {0,1}^n 的分布，使得在特定统计约束下，(Hn, rn) 对于攻击者而言与均匀分布统计不可区分。
• 定义一个语言 L，使得具有量子建议的量子算法可通过仅经典访问预言机以高概率解决该问题，而任何具有经典建议的经典算法则以高概率失败。
• 使用混合论证法与马尔可夫不等式，界定任意经典 QCMA 机器的成功概率，证明其在所有输入长度上的成功概率为零。
• 利用量子算法可借助量子建议通过幅值放大与相位估计算法计算解，而经典算法无法模拟此过程，原因在于预言机分布的统计不可区分性。
• 对可数多个 QCMA 机器应用类似对角化论证，证明不存在任何此类机器能在所有输入长度上以正概率成功。
• 利用经典查询下难以区分 Hn 与随机函数的困难性，确保即使允许经典访问预言机，经典算法也无法学习所需结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个经典可访问的经典预言机，使得 BQP/qpoly 严格包含 BQP/poly？
• RQ2 在经典可访问的经典预言机存在下，量子建议是否相对于经典建议具有可证明优势？
• RQ3 能否在经典可访问的经典预言机下建立 QMA 与 QCMA 的分离？
• RQ4 是否存在一种单向通信复杂度分离，使得鲍勃的输入相比爱丽丝的输入呈指数级缩小，且允许经典查询？
• RQ5 能否使用不同且更通用的技术，重新证明近期在分布式预言机下 QMA 与 QCMA 的分离？

主要发现

• 存在一个经典可访问的经典预言机 O，使得 BQP/qpoly 严格包含 BQP/poly，从而解决了经典预言机访问设定下一个长期悬而未决的开放问题。
• 该分离通过构造一个语言 L 实现，该语言可被具有量子建议的量子算法判定，但无法被任何具有经典建议的经典算法判定，即使两者均能访问同一经典预言机。
• 在所构造的预言机分布下，任意经典 QCMA 机器在所有输入长度上的成功概率为零，从而证明 L ∉ QCMA^O 的概率为 1。
• 本文为在分布式量子可访问经典预言机下 QMA 与 QCMA 的分离提供了另一种证明，其技术路线不同于 Natarajan 和 Nirkhe 的方法。
• 本文建立了一种新的超多项式通信复杂度分离：量子协议仅需多项式通信，而经典协议则需超多项式通信，即使鲍勃可经典查询爱丽丝的输入。
• 结果表明，通信复杂度中的障碍（Aaronson 的定理 7.1）可通过考虑关系而非全函数被绕过，从而实现更强的分离。