[论文解读] Classically Approximating Variational Quantum Machine Learning with Random Fourier Features

Jonas Landman, Slimane Thabet+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2022

Stochastic Gradient Optimization Techniques被引用 5

一句话总结

本文提出一种基于随机傅里叶特征（RFF）的经典采样方法，通过从其指数级庞大的量子特征空间中采样关键频率，来近似变分量子线路（VQCs）。研究显示，仅需少量且具有有利缩放特性的样本——尤其当VQC谱具有冗余性时——RFF即可在合成数据集和真实数据集上实现与VQCs相当或更优的性能，从而在许多情况下对量子优势的假设提出挑战。

ABSTRACT

Many applications of quantum computing in the near term rely on variational quantum circuits (VQCs). They have been showcased as a promising model for reaching a quantum advantage in machine learning with current noisy intermediate scale quantum computers (NISQ). It is often believed that the power of VQCs relies on their exponentially large feature space, and extensive works have explored the expressiveness and trainability of VQCs in that regard. In our work, we propose a classical sampling method that may closely approximate a VQC with Hamiltonian encoding, given only the description of its architecture. It uses the seminal proposal of Random Fourier Features (RFF) and the fact that VQCs can be seen as large Fourier series. We provide general theoretical bounds for classically approximating models built from exponentially large quantum feature space by sampling a few frequencies to build an equivalent low dimensional kernel, and we show experimentally that this approximation is efficient for several encoding strategies. Precisely, we show that the number of required samples grows favorably with the size of the quantum spectrum. This tool therefore questions the hope for quantum advantage from VQCs in many cases, but conversely helps to narrow the conditions for their potential success. We expect VQCs with various and complex encoding Hamiltonians, or with large input dimension, to become more robust to classical approximations.

研究动机与目标

• 探究经典方法是否能有效近似变分量子线路（VQCs）在机器学习任务中的表达能力。
• 确定VQCs在何种条件下仍可能相对于经典模型展现出真正优势。
• 开发并评估基于随机傅里叶特征（RFF）的实用经典近似方法，仅需VQC架构信息，无需实际运行量子线路。
• 分析近似质量对VQC关键属性（如输入维度、编码哈密顿量结构及谱冗余性）的依赖关系。
• 为RFF在有界误差下近似VQCs的效率提供理论边界与实证验证。

提出的方法

• 该方法利用VQCs可表示为傅里叶级数的事实，其谱分量源自编码门和线路幺正矩阵。
• 提出三种不同的RFF采样策略：树状采样（Tree Sampling）、独立采样（Distinct Sampling）与网格采样（Grid Sampling），分别针对VQCs中不同的谱结构。
• 从VQC的架构中提取频率，特别是来自编码哈密顿量，以构建无需运行量子线路的经典核近似。
• 推导出理论边界，表明所需RFF样本数随量子谱大小呈有利增长，尤其在冗余性较高时。
• 采用经典优化训练RFF核模型，使与量子训练的VQCs在相同数据集上可直接比较。
• 在人工数据集和真实世界数据集上进行实证评估，比较RFF近似与原始VQCs在泛化性能和样本效率方面的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于随机傅里叶特征的经典核模型能否以有界误差和少量样本近似变分量子线路所学习的函数？
• RQ2 所需RFF样本数如何随VQC关键属性（如输入维度、线路深度和谱冗余性）变化？
• RQ3 在何种情形下VQCs仍可能相对于经典RFF近似展现出潜在优势，特别是当编码哈密顿量不可对角化时？
• RQ4 考虑到谱中仅部分频率具有非零系数，VQCs的有效表达能力在多大程度上与其理论潜力相匹配？
• RQ5 在实践中，经典RFF方法能否超越VQCs，以及在何种条件下可以？

主要发现

• RFF近似在合成数据集和真实数据集上均能与VQCs性能相当甚至更优，展现出极低采样量下的强大实证表现。
• 所需RFF样本数随量子谱大小呈有利增长，某些情况下仅需谱的0.001%即可实现良好近似。
• 当VQC谱具有高度冗余性时，计算效率最高的树状采样（Tree Sampling）能以更少样本实现强近似。
• 独立采样与网格采样策略在学习谱中非冗余频率时可超越VQCs，而树状采样在此类情形下可能失效。
• 理论边界表明样本复杂度具有有利缩放特性，但高常数因子限制了其在小规模实验中的即时实际意义。
• 研究结果挑战了在经典数据学习中VQCs具有量子优势的假设，尤其当编码门较简单或可对角化时。