[论文解读] Classically efficient graph isomorphism algorithm using quantum walks

B. L. Douglas, J. B. Wang|arXiv (Cornell University)|May 17, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于离散时间量子行走的、经典高效的图同构算法，证明了量子行走模拟可在经典计算机上有效实现。该方法成功识别了大型图数据库中的同构类，特别是强正则图，并推测该方法可多项式时间求解图同构问题。

ABSTRACT

Given the extensive application of classical random walks to classical algorithms in a variety of fields, their quantum analogue in quantum walks is expected to provide a fruitful source of quantum algorithms. So far, however, such algorithms have been scarce. In this work, we enumerate some important differences between quantum and classical walks, leading to their markedly different properties. We show that for many practical purposes, the implementation of quantum walks can be efficiently achieved using a classical computer. We then develop both classical and quantum graph isomorphism algorithms based on discrete-time quantum walks. We show that they are effective in identifying isomorphism classes of large databases of graphs, in particular groups of strongly regular graphs. We conjecture that the algorithms presented solve the graph isomorphism problem in polynomial time, and believe that similar methods employing quantum walks or derivatives of these walks may prove beneficial in constructing other algorithms for a variety of purposes. PACS numbers: 03.67.-a, 02.10.Ox, 89.20.Ff ∗Electronic address: [e-mail]

研究动机与目标

• 探索经典行走与量子行走之间的差异及其对算法设计的影响。
• 为实际算法应用开发一种经典高效的量子行走实现方法。
• 基于离散时间量子行走，构建经典与量子两种图同构算法。
• 评估这些算法在大型图数据库中识别同构类的有效性。
• 探究所提出方法是否能在多项式时间内解决图同构问题。

提出的方法

• 作者利用经典计算模拟图上的离散时间量子行走，利用量子行走动力学在许多实际用途中可被经典高效模拟的事实。
• 他们基于图结构上量子行走的演化设计了一种图同构算法，利用生成的行走统计量来比较图。
• 该方法涉及计算量子行走转移振幅，并比较不同图之间振幅分布，以检测同构性。
• 该算法在大型强正则图数据库上进行了测试，这类图是同构测试的难点。
• 作者利用量子行走的结构特性定义不变量，以区分非同构图。
• 该方法被扩展为算法的量子版本，但经典模拟仍是主要计算引擎。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子行走能否在经典计算机上高效模拟以用于实际算法应用？
• RQ2 在图分析中，量子行走动力学与经典随机行走动力学在多大程度上存在差异？
• RQ3 基于量子行走的不变量能否可靠地区分大型复杂图中的同构类？
• RQ4 所提出的算法是否能够以多项式时间求解图同构问题？
• RQ5 基于量子行走的方法能否推广到同构测试之外的其他计算问题？

主要发现

• 该算法中使用的量子行走动力学可在经典计算机上高效模拟，从而在无需量子硬件的情况下实现实际应用。
• 所提出的经典算法成功识别了大型强正则图数据库中的同构类。
• 该方法在区分非同构图方面表现出高度有效性，尤其在强正则图类别中。
• 作者推测，基于经验性能和结构分析，该算法可在多项式时间内求解图同构问题。
• 结果表明，基于量子行走的不变量是图比较的强大工具，可能启发新的经典与量子算法。