[论文解读] Classification and Construction of Topological Phases of Quantum Matter

Charles Zhaoxi Xiong|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2019

Topological Materials and Phenomena被引用 6

一句话总结

本文提出了一种统一的拓扑框架，用于利用广义上同调理论对量子物质中的对称性保护拓扑（SPT）相进行分类和构建，统一了以往的各类提议，如群（超）上同调、cobordism 以及 Kitaev 的 $Ω$-谱方法。该方法实现了对具有复杂空间群对称性的三维费米子和玻色子 SPT 相的系统性分类，并通过谱序列推导出新的拓扑不变量。

ABSTRACT

We develop a theoretical framework for the classification and construction of symmetry protected topological (SPT) phases, which are a special class of zero-temperature phases of strongly interacting gapped quantum many-body systems that exhibit topological properties. The framework unifies various proposals for the classification of SPT phases, including the group (super-)cohomology proposal, the (spin-)cobordism proposal, the Freed-Hopkins proposal, and the Kitaev proposal. The power of the framework is demonstrated in a number of applications: (1) the classification and construction of 3D fermionic SPT phases in Wigner-Dyson classes A and AII with glide symmetry, (2) the classification and construction of 3D bosonic SPT phases with space-group symmetries for all 230 space groups, (3) the derivation of a Mayer-Vietoris sequence relating the classification of SPT phases with and without reflection symmetry, and (4) an interpretation of the structure of general crystalline SPT phases via the Atiyah-Hirzebruch spectral sequence. The framework is based on Kitaev's idea that short-range entangled states form what are known as $Ω$-spectra in the sense of algebraic topology, and models the classification of SPT phases by what are called generalized cohomology theories.

研究动机与目标

• 将强关联量子系统中对称性保护拓扑（SPT）相分类的多种不同理论提议统一起来。
• 开发一种可推广的方法，用于构建具有任意空间群和点群对称性（包括非平移对称性）的 SPT 相。
• 将 SPT 相的分类从局域对称性扩展到三维晶体对称性和滑移对称性。
• 建立一个严谨的拓扑框架，整合代数拓扑工具，如 Atiyah-Hirzebruch 谱序列和 Mayer-Vietoris 序列。
• 为具有滑移对称性的 Wigner-Dyson 类 A 和 AII 的 SPT 相提供系统性构建方法，并对玻色子系统中的全部 230 个空间群进行系统分类。

提出的方法

• 基于 Kitaev 的 $Ω$-谱构造的启发，使用广义上同调理论对短程纠缠 SPT 相进行分类。
• 应用 Atiyah-Hirzebruch 谱序列分析晶体 SPT 相的结构并推导出拓扑不变量。
• 利用 Mayer-Vietoris 序列关联具有和不具有镜像对称性时的 SPT 分类，实现对对称性增强型拓扑不变量的刻画。
• 将群（超）上同调、自旋 cobordism 以及 Freed-Hopkins 方法整合进单一上同调框架。
• 采用同伦理论技术，基于上同调数据显式构建 SPT 相模型，涵盖具有复杂空间群对称性的费米子和玻色子系统。
• 通过谱序列计算推导出拓扑不变量，建立代数拓扑与物理 SPT 分类之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 SPT 相分类的多种不同方案——如群上同调、cobordism 以及 Kitaev 的 $Ω$-谱——统一于单一理论框架之下？
• RQ2 具有滑移对称性的三维费米子 SPT 相在 Wigner-Dyson 类 A 和 AII 中的完整分类是什么？
• RQ3 如何系统性地利用全部 230 个空间群对具有空间群对称性的三维玻色子 SPT 相进行分类？
• RQ4 在 SPT 相中，镜像对称性与其他空间群对称性的相互作用会产生哪些拓扑不变量？
• RQ5 Atiyah-Hirzebruch 谱序列如何组织一般晶体 SPT 相的分类结构？

主要发现

• 该框架成功地将群（超）上同调、（自旋-）cobordism、Freed-Hopkins 和 Kitaev 的提议统一为基于单一广义上同调理论的分类体系。
• 推导出具有滑移对称性的三维费米子 SPT 相在 Wigner-Dyson 类 A 和 AII 中的完整分类，包括显式的拓扑不变量。
• 系统性地应用全部 230 个空间群对三维玻色子 SPT 相进行分类，完整枚举了每个群的拓扑不变量。
• 推导出一个 Mayer-Vietoris 序列，关联具有和不具有镜像对称性时的 SPT 分类，揭示了对称性增强型相的拓扑约束。
• 证明 Atiyah-Hirzebruch 谱序列为理解一般晶体 SPT 相的结构提供了系统且可计算的框架。
• 该方法可通过上同调数据显式构建复杂对称性群（包括非平移对称性）的 SPT 模型。