[论文解读] Classification and detection of symmetry fractionalization in chiral spin liquids

Łukasz Cincio, Yang Qi|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2015

Advanced Condensed Matter Physics被引用 13

一句话总结

该论文对自旋-1/2 kagome 晶格上具有手征-任子拓扑序的手征自旋液体中的对称性分数化进行了分类与检测。通过密度矩阵重整化组（DMRG）模拟与费米子弦均场理论，证明了任子 anyon 必须同时携带半整数自旋与分数化晶格量子数——特别是满足 $I^2 = -1$ 的宇称对称性分数化——从而在自旋旋转与平移对称性下形成唯一的对称性 enriched 拓扑相。

ABSTRACT

In this work we study the crystal symmetry fractionalization in chiral spin liquids with the chiral-semion topological order. We show that if such a chiral spin liquid is realized in a two-dimensional lattice model with odd number of spin-$\frac12$ per unit cell and the state preserves spin rotation symmetry and translation symmetries, the semion excitation must carry both half-integer spin and fractional crystal quantum numbers. As a result, only a unique symmetry enriched topological phase can be realized in chiral spin liquids in a spin-$\frac12$ kagome lattice model. These fractional symmetry quantum numbers are confirmed numerically using ground state wave functions obtained with the density matrix renormalization group method.

研究动机与目标

• 对具有手征-任子拓扑序的手征自旋液体中任子 anyon 的可能对称性分数化模式进行分类。
• 确定在时间反演破缺拓扑序的二维自旋-1/2 kagome 晶格模型中，可实现哪些对称性 enriched 拓扑（SET）相。
• 确立在自旋旋转对称性、平移对称性以及每个原胞中自旋-1/2 数目为奇数的约束下，仅允许一种 SET 相。
• 提供一种基于 DMRG 模拟得到的基态波函数的对称性分数化数值检测方法。
• 通过将投影表示中的相位模糊性与物理波函数的可测量宇称本征值关联，解决宇称对称性投影表示中的模糊性。

提出的方法

• 使用费米子自旋on 的弦均场理论，构建手征自旋液体的 Gutzwiller 投影波函数。
• 应用 DMRG 方法，获得自旋-1/2 kagome 晶格模型的精确基态波函数。
• 分析宇称对称性在均场弦波函数上的作用，包括具有相位模糊性的投影表示 $e^{i heta}$。
• 计算均场波函数的宇称本征值为 $ (e^{i heta})^{2n+1} $，其中 $ 4n+2 $ 个模态被占据。
• 通过结合宇称对称性在均场态上的作用与 Gutzwiller 投影算符的作用，考虑规范依赖性，证明相位模糊性得以消除。
• 推导出物理波函数的宇称本征值为 $-1$，从而证明任子 anyon 的 $I^2 = -1$ 分数化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有手征-任子拓扑序的手征自旋液体中，任子 anyon 的可能对称性分数化模式有哪些？
• RQ2 在每个原胞中自旋-1/2 数目为奇数且自旋旋转与平移对称性被保留的手征自旋液体中，是否可实现多个不同的 SET 相？
• RQ3 如何在自旋-1/2 kagome 晶格模型中实现对称性分数化的数值检测？
• RQ4 背景 anyon 电荷（每个格点一个任子）在决定宇称对称性分数化中的作用是什么？
• RQ5 为何 $I^2 = -1$ 分数化模式被唯一实现？规范不变性如何解决投影表示中的相位模糊性？

主要发现

• 当自旋旋转与平移对称性被保留时，在自旋-1/2 kagome 晶格上的手征自旋液体中仅能实现一种对称性 enriched 拓扑相。
• 任子 anyon 必须携带半整数自旋与分数化晶格量子数，特别是宇称对称性下的 $I^2 = -1$。
• 通过具有 $4n+2$ 个格点系统的 DMRG 基态波函数的宇称本征值，数值证实了 $I^2 = -1$ 的宇称对称性分数化。
• 投影表示中宇称对称性的相位模糊性被 Gutzwiller 投影消除，确保了物理结果的规范不变性。
• 物理波函数的宇称本征值为 $-1$，由 $2n+1$ 个占据模态的本征值 $ heta = rac{ heta}{2} $ 的乘积导出，即 $ (e^{i heta})^{2n+1} imes (-e^{i heta})^{2n+1} = -1 $。
• 该结果对弦构造中的规范选择具有鲁棒性，因为 $U(1)$ 相位模糊性在均场态与投影算符之间相互抵消。