[论文解读] Classification of black holes in three dimensional spacetime by the $W_{1+\infty}$ symmetry

Jingbo Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Black Holes and Theoretical Physics被引用 3

一句话总结

本文表明，三维黑洞的近视界对称代数是量子霍尔效应的量子对称性 $W_{1+\infty}$ 代数的子代数。通过使用 $W_{1+\infty}$ 量子数对黑洞进行分类，本文证明黑洞半径是量子化的，并为黑洞可被视为拓扑绝缘体提供了新证据。

ABSTRACT

The BMS symmetry and related near horizon symmetry play important roles in holography in asymptotically flat spacetimes. They may also be crucial for solving the information paradox. But we still don't fully understand those infinite-dimensional symmetries. On the other hand, $W_{1+\infty}$ symmetry is the quantum version of area-preserving diffeomorphism of a plane. It is a dynamical symmetry of quantum Hall liquid and can be used to classify the quantum Hall universality classes. In this paper, we will show that the near horizon symmetry can be obtained from the $W_{1+\infty}$ symmetry. Based on this result, the black holes in three dimensional spacetime can be classified just as in the quantum Hall liquid. It also gives the result that the radius of black hole are quantized. This gives another evidence that our early claim "black hole can be considered as a kind of topological insulator" is correct.

研究动机与目标

• 建立三维黑洞近视界对称性与量子霍尔系统中 $W_{1+\infty}$ 代数之间的联系。
• 研究黑洞的无限维对称性是否可理解为源于面积保持微分同胚，如同在量子霍尔液体中一样。
• 使用 $W_{1+\infty}$ 代数的量子数对黑洞进行分类，类似于对量子霍尔普适类进行分类。
• 通过将黑洞的对称结构与拓扑量子物质的对称结构联系起来，为黑洞是拓扑绝缘体的观点提供进一步证据。
• 探讨 $W_{1+\infty}$ 对称性对黑洞熵、量子化半径以及信息佯谬的影响，通过 'W-毛发' 机制。

提出的方法

• 将三维黑洞的近视界对称代数识别为 Witt 代数 ($Y_n$) 与阿贝尔电流 ($T_n$) 的半直积，其对易关系为 $[Y_m, Y_n] = (m-n)Y_{m+n}$，$[Y_m, T_n] = -nT_{m+n}$，$[T_m, T_n] = 0$。
• 通过在 $W_{1+\infty}$ 生成元关系中识别 $T_n = L^{(0)}_n$ 和 $Y_n = L^{(1)}_n$，证明该代数同构于 $W_{1+\infty}$ 代数的一个子代数。
• 利用 $W_{1+\infty}$ 代数的结构，将量子数 $Q$ 和 $J$ 定义为 $L^{(0)}_0$ 和 $L^{(1)}_0$ 的本征值，对应于量子霍尔类比中准粒子的电荷和自旋。
• 通过将 $L^{(0)}_0$ 重新标度以匹配熵，使用 $K = \text{diag}(2k, -2k)$ 和 $k = l/(4G)$，将 $W_{1+\infty}$ 生成元与黑洞的物理参数联系起来。
• 通过求解 $n_1 = \frac{1}{4G}(r_+ + r_-)$，$n_2 = \frac{1}{4G}(r_+ - r_-)$，推导出黑洞半径的量子化条件，得到 $r_+ = 2(n_1 + n_2)L_{PL}$，$r_- = 2(n_1 - n_2)L_{PL}$。
• 将所得的整数量子数 $(n_1, n_2)$ 解释为 'W-毛发'，并将其与广义软毛发联系起来，提出黑洞中信息存储的机制。

实验结果

研究问题

• RQ1 三维黑洞的近视界对称代数能否作为子代数嵌入到 $W_{1+\infty}$ 代数中？
• RQ2 量子霍尔系统中的 $W_{1+\infty}$ 对称性如何与黑洞视界动力学相关联？
• RQ3 在黑洞分类的背景下，从 $W_{1+\infty}$ 代数导出的量子数 $n_1$ 和 $n_2$ 的物理意义是什么？
• RQ4 从近视界代数中出现的 $W_{1+\infty}$ 对称性是否意味着黑洞半径是量子化的？
• RQ5 由 $W_{1+\infty}$ 生成的量子数能否作为解决黑洞信息佯谬的机制？

主要发现

• 三维黑洞的近视界对称代数是 $W_{1+\infty}$ 代数的子代数，其中 $T_n = L^{(0)}_n$ 且 $Y_n = L^{(1)}_n$。
• 三维时空中的黑洞可使用 $W_{1+\infty}$ 代数进行分类，分类标签由整数量子数 $n_1$ 和 $n_2$ 给出。
• 黑洞半径是量子化的，表达式为 $r_+ = 2(n_1 + n_2)L_{PL}$ 和 $r_- = 2(n_1 - n_2)L_{PL}$，其中 $L_{PL} = G$ 为普朗克长度。
• 量子数 $n_1$ 和 $n_2$ 对应于 $L^{(0)}_0$ 和 $L^{(1)}_0$ 的本征值，在量子霍尔类比中解释为准粒子的电荷和自旋。
• $W_{1+\infty}$ 对称性为 'W-毛发' —— 广义软毛发 —— 提供了一个框架，可能为解决黑洞信息佯谬提供途径。
• 该结果支持黑洞是拓扑绝缘体的观点，因为其对称性和分类结构与量子霍尔系统相一致。