[论文解读] Classification of c=2 Rational Conformal Field Theories via the Gauss Product

Shinobu Hosono, Bong H. Lian+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2002

Black Holes and Theoretical Physics被引用 11

一句话总结

本文利用二元二次型的高斯理论，对在T²上进行弦紧化时产生的c = 2有理共形场论进行分类，建立了此类CFT的同构类与整系数二元二次型等价类之间的对应关系。关键结果是关于秩二判别形式之间等距变换的双陪集空间的计数恒等式，通过高斯复合法则将共形场论的分类与数论联系起来。

ABSTRACT

Abstract. We obtain a classification of c = 2 rational conformal field theories arising from a string compactification on T 2 in terms of Gauss ’ theory of binary quadratic forms. As a byproduct, we find an identity which counts the cardinality of a certain double coset space defined for isometries between the discriminant forms of rank two lattices. Table of Contents §0. Introduction and main results §1. Classical results on quadratic forms §2. Narain lattices of toroidal compactifications §3. Rational conformal field theory

研究动机与目标

• 对来自环面T²紧化的中心电荷c = 2的有理共形场论进行分类。
• 通过高斯理论，建立此类CFT与整系数二元二次型等价类之间的对应关系。
• 推导出秩二格的判别形式之间等距变换的双陪集空间的基数的计数公式。
• 将格理论中的数论结构与二维CFT中对有理共形场论的分类统一起来。

提出的方法

• 利用高斯的二元二次型复合法则，对c = 2有理共形场论的同构类进行分类。
• 分析弦理论在环面紧化下产生的Narain格，以识别相关的秩二偶自对偶格。
• 通过高斯复合法则，将CFT的分类映射为整系数二元二次型的等价类。
• 通过双陪集空间推导出秩二格的判别形式之间等距变换数目的计数公式。
• 将二元二次型类群的经典结果应用于共形场论的分类。
• 在c = 2 RCFT的同构类与判别式为D的二元二次型类群之间建立双射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地对来自T²紧化的c = 2有理共形场论进行分类？
• RQ2 此类CFT的同构类与二元二次型等价类之间的精确对应关系是什么？
• RQ3 秩二偶单模格的判别形式之间等距变换的双陪集空间的基数是多少？
• RQ4 二元二次型的高斯复合法则如何与RCFT中的模不变性和融合规则相关联？
• RQ5 能否通过格的判别形式将c = 2 RCFT的分类简化为代数数论中的一个问题？

主要发现

• 来自T²紧化的c = 2有理共形场论的同构类与给定判别式D的整系数二元二次型类群之间存在一一对应关系。
• 此类CFT的数量等于判别式D的二元二次型类数h(D)，该值通过高斯复合法则计算得出。
• 推导出秩二格的判别形式之间等距变换的双陪集空间基数的计数恒等式，表达为判别式D的h(D)。
• 该分类完全由二元二次型的高斯复合决定，将CFT模不变量与数论不变量联系起来。
• 该方法利用经典数论，对来自环面紧化的c = 2 RCFT提供了完整且有限的分类。