[论文解读] Classification of catalytic branching processes and structure of the criticality set

E. Vl. Bulinskaya|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文根据由跃迁率和分支机制导出的N×N矩阵的Perron根，对具有N个催化剂的催化分支过程（CBP）进行分类，分为超临界、临界或亚临界。通过使用禁忌状态下的 hitting times 并构建辅助的多类型 Bellman-Harris 过程，作者建立了基于矩的分类方法，该方法推广并强化了关于单催化剂和分支随机游走模型的先前结果，其中临界集C刻画了催化剂参数对过程长期行为的影响。

ABSTRACT

We study a catalytic branching process (CBP) with any finite set of catalysts. This model describes a system of particles where the movement is governed by a Markov chain with arbitrary finite or countable state space and the branching may only occur at the points of catalysis. The results obtained generalize and strengthen those known in cases of CBP with a single catalyst and of branching random walk on d-dimensional integer lattice with a finite number of sources of particles generation. We propose to classify CBP with N catalysts as supercritical, critical or subcritical according to the value of the Perron root of a specified NxN matrix. Such classification agrees with the moment analysis performed here for local and total particles numbers. By introducing the criticality set C we also consider the influence of catalysts parameters on the process behavior. The proof is based on construction of auxiliary multi-type Bellman-Harris processes with the help of hitting times under taboo and on application of multidimensional renewal theorems. Keywords and phrases: catalytic branching process, classification, hitting times under taboo, moment analysis, multi-type Bellman-Harris process.

研究动机与目标

• 开发具有多个催化剂的催化分支过程（CBP）的系统性分类，划分为超临界、临界或亚临界。
• 刻画临界集C，揭示催化剂参数如何影响过程的长期行为。
• 推广并改进关于单催化剂CBP及具有有限方差的Z^d上分支随机游走的现有结果。
• 在对基础马氏过程和后代分布的假设尽可能少的前提下，建立对局部和总粒子数的严格矩分析。
• 为粒子数的指数增长提供必要且充分条件，弥补先前研究中的空白。

提出的方法

• 构建一个最多具有N(N+1)+1种粒子类型的辅助多类型 Bellman-Harris 过程，以模拟系统动力学。
• 利用禁忌状态下的 hitting times 分析催化剂位点之间的通过时间，并将CBP嵌入马氏更新框架。
• 定义一个N×N矩阵D(λ)，其Perron根决定临界性状态：ρ>1（超临界），ρ=1（临界），ρ<1（亚临界）。
• 应用多维更新定理，推导局部和总粒子数矩的渐近行为。
• 建立临界性条件det(D(λ) - I) = 0与存在正解λ以实现指数增长之间的等价性。
• 使用生成函数和格林函数，将矩阵D(λ)与基础马氏链的首达时间和潜在测度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有多个催化剂的催化分支过程，超临界/临界/亚临界分类的适当推广是什么？
• RQ2 多个催化剂的参数（分支率、停留时间、后代分布）如何共同影响粒子系统的长期存活或灭绝？
• RQ3 是否可以为具有N个催化剂的CBP建立统一的基于矩的分类，即使在最小矩假设下也成立？
• RQ4 多催化剂系统中粒子数指数增长的精确条件是什么？它与转移矩阵谱性质有何关系？
• RQ5 临界集C（定义为使ρ=1的催化剂参数配置集合）如何刻画灭绝与爆炸之间的边界？

主要发现

• 具有N个催化剂的CBP被分类为超临界、临界或亚临界，其依据是特定N×N矩阵D的Perron根ρ；当ρ>1时为超临界，ρ=1时为临界，ρ<1时为亚临界。
• 临界集C被表征为使Perron根ρ等于1的催化剂参数配置集合，提供了灭绝与指数增长之间的精确边界。
• 对局部和总粒子数的矩分析表明，所有矩的渐近行为均由ρ的取值决定，从而验证了所提出的分类方法。
• 对于Z^d上具有多个源的分支随机游走的特殊情况，本文提供了指数增长的必要且充分条件，解决了[33]中遗留的开放问题。
• 结果推广并改进了[14]和[31]中的早期发现，特别是避免了对后代分布需要高阶矩假设的依赖。
• 通过引理5和定理1，正式建立了临界性条件det(D(λ) - I) = 0与存在正解λ以实现指数增长之间的等价性。