[论文解读] Classification of complete Finsler manifolds through a second order differential equation

Azam Asanjarani, Behroz Bidabad|ArXiv.org|Oct 15, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文引入一个涉及Cartan水平协变导数的二阶微分方程，通过自适应坐标对完备Finsler流形进行分类，证明此类流形在标量函数ρ的临界点数量基础上，共形于乘积空间、欧几里得空间或n维球面。该研究构造了新的具有正的常数旗曲率的Finsler度量例子，其既非Randers型也非射影平坦型。

ABSTRACT

By using a certain second order differential equation, the notion of adapted coordinates on Finsler manifolds is defined and some classifications of complete Finsler manifolds are found. Some examples of Finsler metrics, with positive constant sectional curvature, not necessarily of Randers type nor projectively flat, are found. This work generalizes some results in Riemannian geometry and open up, a vast area of research on Finsler geometry.

研究动机与目标

• 将基于二阶微分方程的黎曼几何分类技术扩展至Finsler几何。
• 利用Cartan水平协变导数方程在Finsler流形上定义自适应坐标。
• 基于标量函数ρ的临界点数量对完备Finsler流形进行分类。
• 构造具有正的常数旗曲率但非Randers型或射影平坦型的新Finsler度量例子。
• 通过共形等价与曲率分类，将黎曼几何的结果推广至Finsler几何。

提出的方法

• 在Finsler流形(M,g)上引入二阶微分方程∇ᴴ∇ᴴρ = φg，其中使用Cartan水平协变导数∇ᴴ。
• 通过该微分方程的解定义自适应坐标，类似于黎曼几何中的正常坐标。
• 将该微分方程应用于基于临界点数量（零个、一个或两个）对完备Finsler流形进行分类。
• 在高维中使用度量的极坐标形式，表达为ds² = dt² + (sin Kt)²K²ḡαβ duα duβ，以构造球面上的度量。
• 沿测地线约化方程得到d²ρ/dt² = K²ρ，从而获得三角函数解ρ(t) = a cos(Kt) + b。
• 通过从具有常数旗曲率的超曲面ρ = 常数上提升度量，在ℝⁿ⁺¹上构造具有正的常数曲率的Finsler度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用二阶微分方程∇ᴴ∇ᴴρ = φg对完备Finsler流形进行分类？
• RQ2 在Finsler几何中，当标量函数ρ具有零个、一个或两个临界点时，会涌现出何种几何结构？
• RQ3 能否构造出非Randers型且非射影平坦型的具有正的常数旗曲率的Finsler度量？
• RQ4 Cartan水平协变导数在Finsler几何中定义自适应坐标与曲率分类时起到何种作用？
• RQ5 如何将具有常数曲率的超曲面上的Finsler度量提升至高维Finsler流形，使其具有正的常数曲率？

主要发现

• 若完备Finsler流形存在非平凡解∇ᴴ∇ᴴρ = φg且ρ无临界点，则该流形共形于乘积空间J × M̄。
• 若ρ恰好有一个临界点，则流形共形于n维欧几里得空间。
• 若ρ恰好有两个临界点，则流形共形于n维单位球面。
• 在ℝⁿ⁺¹上具有正的常数曲率K的Finsler度量由ds² = dt² + (sin Kt)²K²ḡαβ duα duβ给出，此为n维球面上度量的极坐标形式。
• 该构造方法产生了新的具有正的常数旗曲率的Finsler度量例子，其既非Randers型也非射影平坦型。
• 该方法推广了黎曼几何中的已知结果，并为在高维中构造具有常数曲率的Finsler度量开辟了新途径。