[论文解读] Classification of Gapped Symmetric Phases in 1D Spin Systems

Xie Chen, Zheng‐Cheng Gu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2010

Quantum many-body systems参考文献 2被引用 24

一句话总结

本文使用局部幺正（LU）等价性和项目化表示，对一维量子自旋系统中的有能隙对称相进行分类。结果表明，若无对称性，所有一维有能隙相均等价于平凡的乘积态；但若存在局域对称性，则相由第二上同调群 $ H^2(G, \mathbb{C}) $ 分类，该群捕捉了对称保护的拓扑序。

ABSTRACT

Quantum many-body systems divide into a variety of phases with very different physical properties. The question of what kind of phases exist and how to identify them seems hard especially for strongly interacting systems. Here we make an attempt to answer this question for gapped interacting quantum spin systems whose ground states are short-range correlated. Based on the local unitary equivalence relation between short-range correlated states in the same phase, we classify possible quantum phases for 1D matrix product states, which represent well the class of 1D gapped ground states. We find that in the absence of any symmetry all states are equivalent to trivial product states, which means that there is no topological order in 1D. However, if certain symmetry is required, many phases exist with different symmetry protected topological orders. The symmetric local unitary equivalence relation also allows us to obtain some simple results for quantum phases in higher dimensions when some symmetries are present.

研究动机与目标

• 对具有特定对称性的 1D 自旋系统中所有有能隙、短程纠缠的量子相进行分类。
• 确定在无任何对称性的情况下，拓扑序是否可能存在于 1D 系统中。
• 基于局部幺正等价性和项目化表示框架，建立对称有能隙相的完整分类。
• 将分类推广至包含平移对称性和宇称不变性等额外对称性的系统。

提出的方法

• 使用矩阵乘积态（MPS）表示来描述具有短程关联的一维有能隙基态。
• 应用局部幺正（LU）等价关系来定义相等价性，允许同一相内态之间的连续形变。
• 基于第二上同调群 $ H^2(G, \mathbb{C}) $ 对相进行分类，该群对称群 $ G $ 的项目化表示进行分类。
• 同时考虑局域对称群 $ G $ 的线性表示和项目化表示，其中包含相位因子 $ \alpha(g) $ 和上链 $ \omega(g_1,g_2) $。
• 从 MPS 构造母哈密顿量，以确保模型具有能隙、对称性且平移不变。
• 通过连续 LU 演化证明任意对称态与固定点态之间存在绝热连续性，从而证明同一相内存在 LU 等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无任何对称性的情况下，拓扑序是否可能存在于一维量子自旋系统中？
• RQ2 当一维系统中存在局域对称性 $ G $ 时，有能隙相如何分类？
• RQ3 项目化表示在分类一维中对称保护拓扑相中起什么作用？
• RQ4 包含平移和宇称对称性如何影响不同有能隙相的数量？
• RQ5 一维中所有对称有能隙相是否都能通过对称的局部幺正变换相互连接？

主要发现

• 在无任何对称性的情况下，所有一维有能隙自旋系统均处于同一相，且等价于平凡的乘积态，意味着在无对称性时 1D 中不存在拓扑序。
• 对于具有局域对称性 $ G $ 的非平移不变（NTI）一维系统，有能隙对称相由 $ H^2(G, \mathbb{C}) $ 分类，该群对 $ G $ 的项目化表示进行分类。
• 具有 $ SO(3) $ 对称性的整数自旋链恰好存在两个不同的有能隙相，对应于 $ H^2(SO(3), \mathbb{C}) $ 的两个元素。
• 具有 $ SO(3) $ 对称性的半整数自旋链也恰好存在两个有能隙对称相，尽管 $ H^2(SO(3), \mathbb{C}) $ 的分类相同，但这是由于项目化表示的存在。
• 对于 $ \mathbb{Z}_n $ 对称性，仅存在一个有能隙对称相，因为 $ H^2(\mathbb{Z}_n, \mathbb{C}) $ 是平凡的。
• 对于 $ U(1) $ 对称性，尽管 $ H^2(U(1), \mathbb{C}) $ 是平凡的，但由于存在无限多个一维表示及其相位旋转结构，恰好存在三个有能隙对称相。