[论文解读] Classification of isolated singularities of nonnegative solutions to fractional semi-linear elliptic equations and the existence results

Huyuan Chen, Alexander Quaas|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 3

一句话总结

本文研究了在包含原点的有界 $C^2$ 域 $Ω$ 中，涉及分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^\alpha$ 的分数阶半线性椭圆方程非负解的孤立奇点分类。研究证明，任何在 $Ω \setminus \{0\}$ 上满足 $(-\Delta)^\alpha u = u^p$ 且具有零边界条件的经典解 $u$，均为 $Ω$ 上方程 $(-\Delta)^\alpha u = u^p + k\delta_0$ 的极弱解，其中 $k \geq 0$，并基于指数 $p$ 相对于临界阈值 $\frac{N}{N-2\alpha}$ 的关系，给出了完整的分类，包括通过山路定理证明在 $p < \frac{N}{N-2\alpha}$ 时存在多个解。

ABSTRACT

In this paper, we classify the singularities of nonnegative solutions to fractional elliptic equation \begin{equation}\label{eq 0.1} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} \displaystyle (-Δ)^αu=u^p\quad &amp;{ m in}\quad Ω\setminus\{0\},\\[2mm] \phantom{ (-Δ)^α} \displaystyle u=0\quad &amp;{ m in}\quad \mathbb{R}^N\setminusΩ, \end{array} \end{equation} where $p&gt;1$, $Ω$ is a bounded, $C^2$ domain in $\mathbb{R}^N$ containing the origin, $N\ge2$ and the fractional Laplacian $(-Δ)^α$ is defined in the principle value sense. We obtain that any classical solution $u$ of ( ef{eq 0.1}) is a weak solution of \begin{equation}\label{eq 0.2} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} \displaystyle (-Δ)^αu=u^p+kδ_0\quad &amp;{ m in}\quad Ω,\\[2mm] \phantom{ (-Δ)^α} \displaystyle u=0\quad &amp;{ m in}\quad \mathbb{R}^N\setminusΩ\end{array} \end{equation} for some $k\ge0$, where $δ_0$ is the Dirac mass at the origin. In particular, when $p\ge \frac{N}{N-2α}$, we have that $k=0$; when $p&lt; \frac{N}{N-2α}$, $u$ has removable singularity at the origin if $k=0$ and if $k&gt;0$, $u$ satisfies $$\lim_{x o0} u(x)|x|^{N-2α}=c_{N,α}k,$$ where $c_{N,α}&gt;0$. Furthermore, when $p\in(1, \frac{N}{N-2α})$, we obtain that there exists $k^*&gt;0$ such that problem ( ef{eq 0.1}) has at least two positive solutions for $kk^*$.

研究动机与目标

• 对在 $\Omega \setminus \{0\}$ 上满足分数阶半线性椭圆方程 $(-\Delta)^\alpha u = u^p$ 的非负经典解的孤立奇点进行分类。
• 通过将解与含狄拉克测度 $k\delta_0$ 的问题关联，确定原点处奇点的精确性质。
• 利用变分方法建立 $p < \frac{N}{N-2\alpha}$ 时正解的存在性与多重性。
• 将已知的局部拉普拉斯算子情形（$\alpha = 1$）结果推广至非局部分数阶拉普拉斯算子情形（$\alpha \in (0,1)$）。

提出的方法

• 通过 $C_c^\infty(\Omega)$ 中测试函数的积分恒等式，利用极弱解来刻画具有孤立奇点的解。
• 建立在 $\Omega \setminus \{0\}$ 上的经典解与含 $k\delta_0$ 的扩展问题的极弱解之间的等价性。
• 应用山路定理，证明与扰动问题相关的能量泛函存在非平凡临界点。
• 利用归纳法与正则性理论，将弱解提升为 $\Omega \setminus \{0\}$ 上的 $C^2$ 正则性。
• 利用 $u_k^{p-1}$ 在原点附近的可积性，确保其在加权 $L^2$ 空间中的紧嵌入。
• 分析当 $x \to 0$ 时 $u(x)$ 的渐近行为，证明当 $k > 0$ 时有 $\lim_{x\to 0} u(x)|x|^{N-2\alpha} = c_{N,\alpha}k$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在 $\Omega \setminus \{0\}$ 上满足 $(-\Delta)^\alpha u = u^p$ 的非负解，原点处孤立奇点的精确性质是什么？
• RQ2 在扩展问题 $(-\Delta)^\alpha u = u^p + k\delta_0$ 中，解在何种条件下可包含狄拉克测度 $k\delta_0$？
• RQ3 临界指数 $p = \frac{N}{N-2\alpha}$ 如何影响解的存在性与唯一性？
• RQ4 当 $p < \frac{N}{N-2\alpha}$ 时，是否可能存在多个正解？若存在，数量是多少？
• RQ5 当 $k > 0$ 时，$u(x)$ 在 $x \to 0$ 时的渐近行为如何？

主要发现

• 在 $\Omega \setminus \{0\}$ 上满足 $(-\Delta)^\alpha u = u^p$ 的任何经典解 $u$，均为 $\Omega$ 上方程 $(-\Delta)^\alpha u = u^p + k\delta_0$ 的极弱解，其中 $k \geq 0$。
• 当 $p \geq \frac{N}{N-2\alpha}$ 时，参数 $k = 0$，表明无需引入狄拉克测度。
• 当 $p < \frac{N}{N-2\alpha}$ 时，若 $k = 0$，则奇点可去；若 $k > 0$，则有 $\lim_{x\to 0} u(x)|x|^{N-2\alpha} = c_{N,\alpha}k$，其中 $c_{N,\alpha} > 0$。
• 当 $p \in \left(1, \frac{N}{N-2\alpha}\right)$ 时，存在 $k^* > 0$，使得当 $k < k^*$ 时问题至少有两个正解，当 $k = k^*$ 时有唯一解，当 $k > k^*$ 时无解。
• 当 $k < k^*$ 时存在山路型解，通过变分方法构造，并经紧性与正则性论证确认。
• 解 $u_k + v_k$（其中 $v_k > 0$）是方程 $(-\Delta)^\alpha u = u^p + k\delta_0$ 的正弱解，且在 $\Omega \setminus \{0\}$ 上为 $C^2$。