[论文解读] Classification of maximal arcs in small projective Hjelmslev geometries

Thomas Honold, Kiermaier, Michael|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文通过基于nauty的同构自由生成算法在点-超平面关联图上进行计算枚举，对阶数不超过16的有限链环上的小投影Hjelmslev几何中的极大弧进行了分类。主要贡献在于按几何等价性完成了极大弧的完整分类，并通过广义Gray映射确定了相关码参数，揭示了在有限域上最优或近似最优的线性码。

ABSTRACT

Maximal arcs in small projective Hjelmslev geometries are classified up to isomorphism, and the parameters of the associated codes are determined.

研究动机与目标

• 对阶数不超过16的小型有限链环上的投影Hjelmslev几何中的极大弧按几何等价性进行分类。
• 利用广义Gray映射确定与这些弧相关的线性码的参数。
• 识别从Hjelmslev几何中的极大弧导出的有限域上的最优或近似最优码。
• 将经典投影几何中的组合编码理论结果扩展到链环上的Hjelmslev几何这一更一般的情形。
• 为小维数Hjelmslev几何提供极大弧构型及其对应码参数的全面数据库。

提出的方法

• 在PHG(k,R)的点-超平面关联图上应用nauty的同构自由穷举生成算法，对完整弧进行分类。
• 使用广义Gray映射ψ: R → F_q^{q^{m−1}}将R-线性码提升为有限域上的码。
• 利用PHG(k,R)中弧构型的几何信息计算图像码的重量分布。
• 应用(n,u)-弧的定义：点的n重集，使得任意超平面上的点（按重数计）不超过u个。
• 将极大性定义为达到最大可能的n = m_u(k,R)，并按几何等价性对这些弧进行分类。
• 通过计算搜索枚举所有非退化的极大弧及其等价类，适用于阶数≤16的环R和小的k, u。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阶数≤16的小型有限链环上的投影Hjelmslev几何中，极大弧的构型是什么？
• RQ2 从这些弧导出的线性码的参数与已知的有限域上最优码相比如何？
• RQ3 哪些极大弧在广义Gray映射下产生最优或近似最优码？
• RQ4 在某些Hjelmslev几何中是否存在唯一（按等价性）的极大弧，其条件是什么？
• RQ5 在不同链环R和小维数k的PHG(k,R)中，极大弧的等价类的结构和数量是什么？

主要发现

• PHG(2,Z_4)中的(22,5)-弧产生一个二元[44,6,20]-码，其重量枚举式为1+6X^20+48X^22+6X^24+2X^28+X^32，与该长度和维度下已知的最佳线性二元码一致。
• PHG(2,Z_8)中的(21,3)-弧产生一个二元[84,9,36]-码，其重量枚举式为1+14X^36+168X^38+196X^42+42X^44+7X^48+84X^50，该码参数下为最优。
• PHG(3,Z_9)中的(10,3)-弧产生一个三元[30,8,15]-码，其重量枚举式为1+720X^15+1680X^18+3240X^21+900X^24+20X^27，该码为最优，优于任何已知的线性三元[30,8]-码。
• PHG(2,G_4,2)中的(21,2)-弧产生一个四元[84,6,60]-码，其重量枚举式为1+2520X^60+63X^64+1512X^68，优于已知的最小距离为59的线性四元[84,6]-码。
• PHG(2,T_4)中的(18,2)-弧产生一个线性四元[72,6,48]-码，其重量枚举式为1+12X^48+864X^50+960X^51+96X^52+576X^54+144X^56+864X^58+576X^59+3X^64，该码参数下为最优。
• 对于若干几何结构，如PHG(2,Z_4)、PHG(2,S_2,2)和PHG(3,Z_4)，极大弧在等价意义下唯一，分类表中的粗体条目表明了这一点。