[论文解读] Classification of $N$-(super)-extended Poincaré algebras and bilinear invariants of the spinor representation of $Spin(p,q)$

Dmitry V. Alekseevsky, Vicente Cortés|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 1995

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文通过分析 Spin(p,q) 的旋量模上的 so(V)-不变双线性型，对任意签名 (p,q) 的 N-(超)扩展 Poincaré 代数进行分类。利用 Clifford 模型和 Bott 週期性，计算了独立的李超代数与代数的数量，表明这些维数 L^±(n,s) 取值于 {0,1,2,3,4,6}，且在 n 和 s 上具有周期 8 的週期性。

ABSTRACT

We classify extended Poincaré Lie super algebras and Lie algebras of any signature (p,q), that is Lie super algebras and Z_2-graded Lie algebras g = g_0 + g_1, where g_0 = so(V) + V is the (generalized) Poincaré Lie algebra of the pseudo Euclidean vector space V = R^{p,q} of signature (p,q) and g_1 = S is the spinor so(V)-module extended to a g_0-module with kernel V. The remaining super commutators {g_1,g_1} (respectively, commutators [g_1, g_1]) are defined by an so(V)-equivariant linear mapping vee^2 g_1 -> V (respectively, wedge^2 g_1 -> V). Denote by P^+(n,s) (respectively, P^-(n,s)) the vector space of all such Lie super algebras (respectively, Lie algebras), where n = p + q = dim V and s = p - q is the signature. The description of P^+-(n,s) reduces to the construction of all so(V)-invariant bilinear forms on S and to the calculation of three Z_2-valued invariants for some of them. This calculation is based on a simple explicit model of an irreducible Clifford module S for the Clifford algebra Cl_{p,q} of arbitrary signature (p,q). As a result of the classification, we obtain the numbers L^+-(n,s) = \dim P^+-(n,s) of independent Lie super algebras and algebras, which take values 0,1,2,3,4 or 6. Due to Bott periodicity, L^+-(n,s) may be considered as periodic functions with period 8 in each argument. They are invariant under the group Gamma generated by the four reflections with respect to the axes n=-2, n=2, s-1 = -2 and s-1 = 2. Moreover, the reflection (n,s) -> (-n,s) with respect to the axis s=0 interchanges L^+ and L^- : L^+(-n,s) = L^-(n,s).

研究动机与目标

• 对任意签名 (p,q) 的所有 N-(超)扩展 Poincaré 李超代数与李代数进行分类。
• 确定每种签名 (p,q) 下此类独立代数的数量，记为 L^+-(n,s)，其中 n = p+q，s = p−q。
• 计算 Spin(p,q) 的旋量模 S 上的 so(V)-不变双线性型，并识别其相关的 Z_2-值不变量。
• 建立分类在由四个反射生成的群 Gamma 作用下的週期性与对称性性质。
• 阐明在反射 (n,s) → (-n,s) 下 L^+ 与 L^- 之间的对偶性，即 L^+(-n,s) = L^-(n,s)。

提出的方法

• 为任意签名 (p,q) 的 Clifford 代数 Cl_{p,q} 构造一个不可约 Clifford 模 S 的显式模型。
• 通过从 ∨^2 S 到 V 的 so(V)-等变映射，刻画超交换子 {g_1, g_1} 与交换子 [g_1, g_1]。
• 将 P^+-(n,s) 的分类简化为对旋量模 S 上的 so(V)-不变双线性型的分类。
• 计算与某些双线性型相关的三个 Z_2-值不变量，以区分非等价的扩展。
• 应用 Bott 週期性，证明 L^+-(n,s) 是 n 与 s 的周期为 8 的函数。
• 利用由四个反射生成的群 Gamma 建立对称关系，包括对偶性 L^+(-n,s) = L^-(n,s)。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的签名 (p,q)，存在多少个独立的 N-(超)扩展 Poincaré 代数？
• RQ2 Spin(p,q) 的旋量表示上有哪些 so(V)-不变双线性型？它们如何对扩展进行分类？
• RQ3 这些代数空间的维数 L^+-(n,s) 如何依赖于签名 (p,q)？其行为受何种对称性支配？
• RQ4 Bott 週期性在这些扩展代数的分类中起什么作用？
• RQ5 在反射 (n,s) → (-n,s) 下，L^+ 与 L^- 之间的对偶性如何产生？其意义是什么？

主要发现

• 独立的 N-(超)扩展 Poincaré 代数的数量，记为 L^+-(n,s)，对所有签名 (p,q) 取值于集合 {0,1,2,3,4,6}。
• 维数 L^+-(n,s) 是 n = p+q 与 s = p−q 的周期为 8 的函数，这是由 Bott 週期性决定的。
• 分类在由四个反射生成的群 Gamma 作用下保持不变：n = ±2，s−1 = ±2，以及轴 s = 0。
• 反射 (n,s) → (-n,s) 交换 L^+ 与 L^-，满足 L^+(-n,s) = L^-(n,s)。
• 将旋量模 S 构造为 Clifford 模，为分析所有签名 (p,q) 提供了统一的框架。
• 分类完全归结为对 S 上的 so(V)-不变双线性型及其相关 Z_2 不变量的计算。