[论文解读] Classification of normally and finitely non-co-Hopfian groups

Wouter van Limbeek|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文分类了那些存在下降链的真正规有限指数子群且同构于自身的有限生成群，证明这些群在有限指数意义下可通过从自由交换商群拉回构造。该结果被用于证明：同构于自身的特征有限指数子群必须源自其交换化；并证明了本杰明与涅克拉舍维奇–皮特关于尺度不变性的猜想的特例。

ABSTRACT

A group G is (finitely) co-Hopfian if it does not contain any proper (finite-index) subgroups isomorphic to itself. We study finitely generated groups G that admit a descending chain of proper normal finite-index subgroups, each of which is isomorphic to G. We prove that up to finite index, these are always obtained by pulling back a chain of subgroups from a free abelian quotient. We give two applications: First, we show any characteristic proper finite-index subgroup isomorphic to G arises by pulling back a finite-index subgroup of the abelianization, and secondly, we prove special cases (for normal subgroups) of conjectures of Benjamini and Nekrashevych--Pete regarding the classification of scale-invariant groups.

研究动机与目标

• 分类存在下降链的真正规有限指数子群且同构于自身的有限生成群。
• 通过将其与交换化的子群关联，理解此类子群的结构起源。
• 证明同构于群本身的特征有限指数子群必须源自交换化。
• 证明本杰明与涅克拉舍维奇–皮特关于尺度不变群的猜想的特例，重点针对正规子群。

提出的方法

• 分析与环境群G同构的真正规有限指数子群的下降链。
• 利用G的交换化的结构，从自由交换商群构造子群的拉回。
• 应用群论技术，证明此类链在有限指数意义下由交换化的子群决定。
• 证明任何同构于G的特征有限指数子群必须是交换化中有限指数子群的拉回。
• 将结构结果应用于验证正规子群的尺度不变性猜想的特例。
• 运用co-Hopfian与有限指数子群性质，限制可能的群结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个有限生成群G若存在下降链的真正规有限指数子群同构于G，其结构起源为何？
• RQ2 是否每个同构于G的特征真有限指数子群均可实现为G交换化的拉回？
• RQ3 此类群在多大程度上满足本杰明与涅克拉舍维奇–皮特所提出的尺度不变性猜想？
• RQ4 交换化的性质如何影响G中同构有限指数正规子群的存在性与分类？

主要发现

• 任何具有下降链的真正规有限指数子群同构于自身的有限生成群G，在有限指数意义下，均可通过从G的自由交换商群拉回子群获得。
• 每个同构于G的特征真有限指数子群，均源自G交换化中有限指数子群的拉回。
• 本文证明了本杰明与涅克拉舍维奇–皮特关于尺度不变群的猜想的特例，特别针对正规子群。
• 此类群的分类完全由其自由交换商群的子群结构决定，至多在有限指数意义下。