[论文解读] Classification of p-groups by their Schur multiplier

Sumana Hatui|arXiv (Cornell University)|May 6, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文对满足施瓦尔茨乘子阶为 $p^{\frac{1}{2}n(n-1)-6}$ 的非交换有限 $p$-群进行了分类，采用一种与以往工作不同的新方法，对奇素数 $p$ 和 $p=2$ 的情况提供了完整的结构分类。关键结果是列出了所有阶至 $p^8$ 的此类群的同构类，完整解决了 $t(G) = 6$ 的情形，并为每类群提供了显式表示。

ABSTRACT

Let $G$ be a non-abelian $p$-group of order $p^n$ and $M(G)$ be its Schur multiplier. It is well known result by Green that $|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}n(n-1)}$. So $|M(G)|= p^{\frac{1}{2}n(n-1)-t(G)}$ for some $t(G) \geq 0$. The groups has already been classified for $t(G) \leq 5$ by several authors. For $t(G)=6$ the classification has been done. In this paper we classify $p$-groups $G$ for $t(G) = 6$ in different method.

研究动机与目标

• 对所有阶为 $p^n$ 的非交换 $p$-群 $G$ 进行分类，使得其施瓦尔茨乘子 $M(G)$ 的阶为 $p^{\frac{1}{2}n(n-1)-6}$，即 $t(G) = 6$。
• 为 $t(G) = 6$ 的 $p$-群提供一种基于结构的新分类方法，该方法与文献 [12] 中的方法不同。
• 将 $p$-群按施瓦尔茨乘子阶的分类扩展至 $t(G) \leq 5$ 之外，完整解决所有素数 $p$ 的 $t(G) = 6$ 情形。
• 确定此类群的精确同构类型，包括每类同构类的显式表示。

提出的方法

• 使用结构不变量 $t(G)$，其定义为 $|M(G)| = p^{\frac{1}{2}n(n-1) - t(G)}$，对满足 $t(G) = 6$ 的 $p$-群进行分类。
• 应用定理 2.1（通过中心商群表示施瓦尔茨乘子）和命题 2.2（关于幂零类与乘子阶的界）以约束群的结构。
• 利用詹姆斯对阶至 $p^6$ 的 $p$-群的同构类分类方法，使用 $\Phi_k$ 符号枚举候选群。
• 应用关于额外特殊 $p$-群的施瓦尔茨乘子结果（定理 2.3）以及对小阶 $p$-群已知的乘子阶（定理 2.4），以排除候选群。
• 在 $p = 2$ 的情形下，使用 GAP 的 HAP 包进行计算验证，特别是针对阶为 $2^7$ 和 $2^8$ 的群。
• 通过中心子群 $K$ 的归纳法与商群分析，推导出 $|M(G)|$ 的界，并排除乘子阶更小的群。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些阶为 $p^n$ 的非交换 $p$-群 $G$ 满足其施瓦尔茨乘子阶为 $p^{\frac{1}{2}n(n-1)-6}$？
• RQ2 能否采用与以往工作不同的方法，将 $p$-群按施瓦尔茨乘子阶的分类扩展至 $t(G) = 6$？
• RQ3 对奇素数 $p$ 和 $p=2$，$t(G) = 6$ 的 $p$-群的完整同构类是什么？
• RQ4 幂零类、导出子群与中心如何影响 $t(G) = 6$ 的 $p$-群中施瓦尔茨乘子的大小？
• RQ5 是否存在阶为 $p^7$ 且满足 $t(G) = 6$ 的 $p$-群？若否，原因是什么？

主要发现

• 对奇素数 $p$，恰好存在 12 个同构类的非交换 $p$-群满足 $t(G) = 6$，包括 $ES_p(p^3) \times \mathbb{Z}_p^{(5)}$、$\Phi_2(21^4)a$、$\Phi_5(21^4)b$ 和 $\Phi_4(1^6)$ 等。
• 对 $p = 2$，恰好存在 14 个同构类，包括 $D_8 \times \mathbb{Z}_2^{(4)}$、$Q_8 \times \mathbb{Z}_2^{(3)}$、$QD_{16}$、$Q_{16}$ 以及多种 $\mathbb{Z}_2$-作用下的半直积。
• 不存在阶为 $p^7$ 的非交换 $p$-群满足 $t(G) = 6$，该结论由定理 2.1 和命题 2.2 的乘子阶界得出。
• 满足 $t(G) = 6$ 的群必须满足 $n \leq 8$，最大阶为 $p^8$，且由 $ES_p(p^3) \times \mathbb{Z}_p^{(5)}$ 实现。
• 在阶为 $p^6$ 的群中，仅 $\Phi_4(1^6)$、$\Phi_2(21^4)a$、$\Phi_2(21^4)b$、$\Phi_5(21^4)a$、$\Phi_5(1^6)$ 和 $\Phi_5(21^4)b$ 满足 $|M(G)| = p^9$，该结论经乘子阶界与同构类分析确认。
• 对 $p = 2$ 的情形，分类通过 GAP 的 HAP 包进行了计算验证，确认了 14 个满足 $t(G) = 6$ 的群的列表。