[论文解读] Classification of simple $W_n$-modules with finite-dimensional weight spaces

Yuly Billig, Vyacheslav Futorny|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 20

一句话总结

本文分类了所有具有有限维权空间的简单 $W_n$-模，证明了Eswara Rao的猜想：此类模要么为最高权型，要么为环面上张量场模的商模。证明依赖于从 $W_n$-模到 $AW_n$-模的 $A$-覆盖函子的构造，以及在 $W_1$ 的普遍包络代数中建立的新二次恒等式，该恒等式确保了余权模在该构造下仍保持为余权模。

ABSTRACT

We classify all simple $W_n$-modules with finite-dimensional weight spaces. Every such module is either of a highest weight type or is a quotient of a module of tensor fields on a torus, which was conjectured by Eswara Rao. This generalizes the classical result of Mathieu on simple weight modules for the Virasoro algebra. In our proof of the classification we construct a functor from the category of cuspidal $W_n$-modules to the category of $W_n$-modules with a compatible action of the algebra of functions on a torus. We also present a new identity for certain quadratic elements in the universal enveloping algebra of $W_1$, which provides important information about cuspidal $W_1$-modules.

研究动机与目标

• 分类所有具有有限维权空间的简单 $W_n$-模，扩展Mathieu对Virasoro代数模的分类。
• 解决Eswara Rao的猜想：此类模要么为最高权型，要么为环面上张量场模的商模。
• 通过共诱导函子将余权 $W_n$-模与 $AW_n$-模关联，理解余权 $W_n$-模的结构。
• 在 $W_1$ 的普遍包络代数中建立一个新的代数恒等式，以控制余权 $W_1$-模的行为。

提出的方法

• 构造从 $W_n$-模到 $AW_n$-模的共诱导函子，将 $M$ 映射为 $\mathrm{Hom}(A,M)$，其中 $A$ 为环面上函数的代数。
• 将 $W_n$-模 $M$ 的 $A$-覆盖 $\widehat{M}$ 定义为由元素 $\psi(x,u)$ 生成的 $AW_n$-子模，满足 $\psi(x,u)(f) = (fx)u$。
• 利用 $U(W_1)$ 中的新二次恒等式证明：余权 $W_n$-模的 $A$-覆盖仍为余权模，该恒等式为： $\sum_{i,j} (-1)^{i+j} \binom{m}{i}\binom{m}{j} \{\Omega^{(m)}_{k-i,s-j}, \Omega^{(m)}_{q+i,p+j}\} - \{\Omega^{(m)}_{k-i,q-j}, \Omega^{(m)}_{s+i,p+j}\} = (q-s)(p-k+2m)\Omega^{(4m)}_{k+p+2m,s+q-2m}$。
• 利用 $A$-覆盖构造，将简单余权 $W_n$-模的分类约化为已知的简单余权 $AW_n$-模的分类。
• 应用 $A$-覆盖函子，证明每个简单余权 $W_n$-模均为张量场模 $T(U,\beta)$ 的商模，或为 de Rham复形 $d\Omega^k(\beta)$ 的子模。
• 利用 $W_n$ 在 $A$ 上的作用，当 $W_n M = M$ 时，可构造从 $\widehat{M}$ 到 $M$ 的满同态，从而实现向 $AW_n$-模分类的约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有具有有限维权空间的简单 $W_n$-模是否如Eswara Rao所猜想的那样，要么为最高权型，要么为环面上张量场模的商模？
• RQ2 能否通过函子性构造将简单余权 $W_n$-模的分类约化为简单余权 $AW_n$-模的分类？
• RQ3 $U(W_1)$ 中何种代数结构控制余权 $W_1$-模的行为，并确保在 $A$-覆盖下权空间的有限维性？
• RQ4 $A$-覆盖构造如何保持 $W_n$-模的余权性质？其在何种条件下为满射？
• RQ5 对 $W_n$ 而言，最高权型简单模的精确结构是什么？它们与 $W_{n-1}$-模有何关系？

主要发现

• 所有具有有限维权空间的简单 $W_n$-模均为最高权型，或为张量场模 $T(U,\beta)$ 的简单商模，从而证实了Eswara Rao的猜想。
• $W_n$-模的 $A$-覆盖保持余权性质且具有有限维权空间，从而可将其分类约化为 $AW_n$-模的分类。
• $U(W_1)$ 中的新二次恒等式，其中 $\Omega_{k,s}^{(m)} = \sum_{a=0}^m (-1)^a \binom{m}{a} e_{k-a} e_{s+a}$，表明当 $m$ 足够大时，$\Omega_{k,s}^{(m)}$ 会消去任意余权 $W_1$-模。
• 简单余权 $W_n$-模同构于：对于非同构于 $\bigwedge^k \mathbb{C}^n$ 的有限维简单 $gl_n$-模 $U$ 的 $T(U,\beta)$，或同构于 $d\Omega^k(\beta) \subset \Omega^{k+1}(\beta)$（其中 $0 \leq k < n$），或同构于平凡的1维模。
• 最高权型简单模同构于 $L(U,\beta,\gamma)^g$，其中 $U$ 为有限维简单 $gl_{n-1}$-模，$\beta \in \mathbb{C}^{n-1}$，$\gamma \in \mathbb{C}$，$g \in GL_n(\mathbb{Z})$，且 $L(U,\beta,\gamma)$ 为广义Verma模。