[论文解读] Classification of Symmetry-Protected Phases for Interacting Fermions in Two Dimensions

Meng Cheng, Zhen Bi+2 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Jan 6, 2015

Atomic and Subatomic Physics Research被引用 7

一句话总结

本文通过结合群上同调与缺陷任意子理论，对具有总对称群 $G \times \mathbb{Z}_2^f$ 的相互作用费米子二维对称保护拓扑（SPT）相进行了完整分类。它在群上同调分类的基础上，引入了额外的 $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ 结构，以捕捉未配对的马约拉纳边界模式，并证明完整的分类由 $H^1(G, \mathbb{Z}_2) \times BH^2(G, \mathbb{Z}_2) \times H^3(G, \mathrm{U}(1))$ 给出，从而解决了具有局域单位对称性的二维费米子 SPT 相的分类问题。

ABSTRACT

Recently, it has been shown that two-dimensional bosonic symmetry-protected topological(SPT) phases with on-site unitary symmetry $G$ can be completely classified by the group cohomology class $H^3(G, \mathrm{U}(1))$. Later, group super-cohomology class was proposed as a partial classification for SPT phases of interacting fermions. In this work, we revisit this problem based on the mathematical framework of $G$-extension of unitary braided tensor category(UBTC) theory. We first reproduce the partial classifications given by group super-cohomology, then we show that with an additional $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ structure, a complete classification of SPT phases for two-dimensional interacting fermion systems for a total symmetry group $G imes\mathbb{Z}_2^f$ can be achieved. We also discuss the classification of interacting fermionic SPT phases protected by time-reversal symmetry.

研究动机与目标

• 为具有局域单位对称性 $G$ 的二维相互作用费米子 SPT 相提供完整分类。
• 通过识别额外的 $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ 结构，扩展群上同调的不完全分类，该结构用于捕捉未配对的马约拉纳零能模式。
• 阐明群上同调分类中 $BH^2(G, \mathbb{Z}_2)$ 项的物理意义，即由费米子宇称 $\pi$ 通量所携带的分数化 $\mathbb{Z}_2$ 量子数。
• 将分类推广至包含时间反演对称性的系统，包括反酉对称性。
• 通过二维拓扑序中对称性缺陷的代数理论与任意子融合规则，统一费米子 SPT 相的分类。

提出的方法

• 作者利用二维能隙量子物相中对称性缺陷的代数理论，分析外源性对称性通量的拓扑性质。
• 通过研究对称性缺陷的融合规则与统计性质，特别是费米子宇称 $\pi$ 通量及其分数化量子数，对 fSPT 相进行分类。
• 该方法涉及构建具有费米统计的任意子融合的 $F$-符号，并通过五边形方程强制一致性。
• 证明不一致性障碍可通过一个 4-上链 $\mathrm{d}\nu$ 补偿，从而导出条件 $(\mathrm{d}\nu)(g,h,k,l) = (-1)^{n(g,h)n(k,l)}$，该条件定义了 $H^3(G, \mathrm{U}(1))$ 分类。
• 将 $BH^2(G, \mathbb{Z}_2)$ 项解释为由 $F$-符号中的 $n$-函数导出的 $\pi$ 通量所携带的分数化 $\mathbb{Z}_2$ 量子数。
• 将 $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ 项识别为在 $\mathbb{Z}_2$ 对称性通量上存在未配对马约拉纳零能模式的条件，从而区分具有与不具有此类模式的相。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有局域单位对称性 $G$ 的二维相互作用费米子 SPT 相的完整分类是什么？
• RQ2 $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ 结构如何与对称性通量上未配对马约拉纳零能模式的存在相关联？
• RQ3 在群上同调分类中，$BH^2(G, \mathbb{Z}_2)$ 项的物理意义是什么？
• RQ4 对称性缺陷的融合与统计性质如何约束可能的 fSPT 相？
• RQ5 该分类能否扩展至包含时间反演对称性？其与酉对称情况有何不同？

主要发现

• 具有总对称群 $G \times \mathbb{Z}_2^f$ 的二维相互作用费米子 SPT 相的完整分类由乘积 $H^1(G, \mathbb{Z}_2) \times BH^2(G, \mathbb{Z}_2) \times H^3(G, \mathrm{U}(1))$ 给出，扩展了群上同调分类。
• $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ 项对具有未配对马约拉纳边界模式的相进行分类，这些模式由对称性通量保护，并对应于 $\mathbb{Z}_2$ 通量上零能模式的存在。
• $BH^2(G, \mathbb{Z}_2)$ 项的物理解释为：由费米子宇称 $\pi$ 通量所携带的分数化 $\mathbb{Z}_2$ 量子数，其来源于 $F$-符号中非平凡的 $n$-函数。
• $H^3(G, \mathrm{U}(1))$ 项对应于已知的玻色子 SPT 相分类，源于 $F$-符号中的 $\nu$-因子。
• 当 $G = \mathbb{Z}_2$ 时，完整分类给出 $\mathbb{Z}_8$ 个相，其贡献来自 $H^1(\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2$、$BH^2(\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2$ 和 $H^3(\mathbb{Z}_2, \mathrm{U}(1)) = \mathbb{Z}_2$，与 $\mathbb{Z}_8$ 群结构一致。
• 仅当障碍 $(-1)^{n(g,h)n(k,l)}$ 被一个 4-上链 $\mathrm{d}\nu$ 补偿时，五边形方程才成立，该条件强制了 $H^3(G, \mathrm{U}(1))$ 条件，并确保任意子理论的一致性。