[论文解读] Classification of symmetry protected topological phases in quantum spin chains

Yoshiko Ogata|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2021

Quantum many-body systems被引用 4

一句话总结

本文通过严格的算子代数方法对一维和二维量子自旋链中的对称保护拓扑（SPT）相进行了分类，证明SPT相由群上同调分类：在一维中为$H^2(G, U(1))$，在二维中为$H^3(G, U(1))$。通过在无限系统上使用自同构和上链作用，构造了显式的不变量，证实了物理学家的猜想，并将Dijkgraaf-Witten模型推广至无限情形。

ABSTRACT

We consider the classification problem of symmetry protected topological (SPT) phases on quantum spin systems. SPT phases are gapped short-range-entangled quantum phases with a symmetry $G$. We explain that in one and two-dimensional quantum spin systems, there are $H^{2}(G, U(1))$/ $H^{3}(G, U(1))$-valued invariant, confirming a physicists conjecture.

研究动机与目标

• 通过算子代数方法，对量子自旋系统中的对称保护拓扑（SPT）相提供数学上严格的分类。
• 证实物理学家的猜想：在$\nu$维系统中，SPT相由$H^{\nu+1}(G, U(1))$分类，其中有限局域对称群为$G$。
• 在无限系统上，利用自同构和上链作用，分别构造$H^2(G, U(1))$-值和$H^3(G, U(1))$-值不变量，以描述一维和二维SPT相。
• 建立Dijkgraaf-Witten拓扑量子场论与无限体积极限下SPT相分类之间的联系。

提出的方法

• 使用$C^*$-动力系统框架描述量子自旋系统及其时间演化，将其表示为自同构的强连续一参族。
• 应用分裂性质，确保无限系统中存在唯一的能隙基态，从而支持拓扑不变量的定义。
• 为一维系统构造矩阵乘积态（MPS）表示，并通过广义表示和酉上链定义$H^2(G, U(1))$-值指标。
• 对于二维系统，通过三元自同构$\sigma^{(0)}, \sigma^{(1)}, \sigma^{(2)}$及其上边界映射，定义$H^3(G, U(1))$-值指标。
• 利用Dijkgraaf-Witten模型作为$H^3(G, U(1))$-值指标的具体实现，其中3-上链$\Psi^3(\nu)$源自Dijkgraaf-Witten模型中的酉上链$V(g,h)$。
• 应用群上同调理论，将自同构作用及其交换子与上同调类关联，确保拓扑不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用群上同调对一维量子自旋链中的SPT相进行分类？
• RQ2 一维SPT相中$H^2(G, U(1))$-值不变量背后的精确数学结构是什么？
• RQ3 在具有局域对称$G$的二维SPT相中，$H^3(G, U(1))$-值指标如何产生？
• RQ4 Dijkgraaf-Witten模型能否在无限系统极限中实现为物理上的SPT相？
• RQ5 分裂性质在无限量子自旋系统中定义和稳定拓扑不变量的过程中起什么作用？

主要发现

• 本文证明，具有局域有限群对称$G$的一维量子自旋链中的SPT相由第二类群上同调群$H^2(G, U(1))$分类。
• 在二维系统中，SPT相的分类由第三类群上同调群$H^3(G, U(1))$给出，证实了物理学家的猜想。
• 通过自同构和3-上链$\Psi^3(\nu)$显式构造了$H^3(G, U(1))$-值指标，该上链源自Dijkgraaf-Witten模型中的酉上链$V(g,h)$。
• $H^2(G, U(1))$-指标通过在系统边界上对称群$G$的广义表示，结合矩阵乘积态和酉算符推导得出。
• 只要对称性被保持且基态唯一且具有能隙，该分类在哈密顿量平滑变形下保持稳定，无需能隙闭合。
• 该构造在无限系统极限下依然有效，此时拓扑不变量仅在希尔伯特空间为无限维时非平凡，类似于弗雷德霍姆指标。