[论文解读] Classification of tetravalent $2$-transitive non-normal Cayley graphs of finite simple groups

Xin Fang, Jie Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

该论文分类了有限单群的连通四度2-传递非正规Cayley图，证明仅Mathieu群M11允许此类图——具体而言，恰好存在两个非同构的例子。该工作通过证明对于所有其他候选群（PSL₂(11)、M23、A11），此类非正规Cayley图均不存在，从而彻底解决了长期悬而未决的开放问题，并完全确定了任意有限单群的连通四度2-传递Cayley图的自同构群。

ABSTRACT

A graph $\Gamma$ is called $(G, s)$-arc-transitive if $G \le \mathrm{Aut}(\Gamma)$ is transitive on the set of vertices of $\Gamma$ and the set of $s$-arcs of $\Gamma$, where for an integer $s \ge 1$ an $s$-arc of $\Gamma$ is a sequence of $s+1$ vertices $(v_0,v_1,\ldots,v_s)$ of $\Gamma$ such that $v_{i-1}$ and $v_i$ are adjacent for $1 \le i \le s$ and $v_{i-1} e v_{i+1}$ for $1 \le i \le s-1$. $\Gamma$ is called 2-transitive if it is $(\mathrm{Aut}(\Gamma), 2)$-arc-transitive but not $(\mathrm{Aut}(\Gamma), 3)$-arc-transitive. A Cayley graph $\Gamma$ of a group $G$ is called normal if $G$ is normal in $\mathrm{Aut}(\Gamma)$ and non-normal otherwise. It was proved by X. G. Fang, C. H. Li and M. Y. Xu that if $\Gamma$ is a tetravalent 2-transitive Cayley graph of a finite simple group $G$, then either $\Gamma$ is normal or $G$ is one of the groups $\mathrm{PSL}_2(11)$, $M_{11}$, $M_{23}$ and $A_{11}$. However, it was unknown whether $\Gamma$ is normal when $G$ is one of these four groups. In the present paper we answer this question by proving that among these four groups only $M_{11}$ produces connected tetravalent 2-transitive non-normal Cayley graphs. We prove further that there are exactly two such graphs which are non-isomorphic and both determined in the paper. As a consequence, the automorphism group of any connected tetravalent 2-transitive Cayley graph of any finite simple group is determined.

研究动机与目标

• 解决关于有限单群中是否存在四度2-传递非正规Cayley图的开放问题，超越正规情形。
• 对所有有限单群的连通四度2-传递非正规Cayley图进行分类，特别是针对四个例外群：PSL₂(11)、M11、M23和A11。
• 确定任意有限单群的连通四度2-传递Cayley图的完整自同构群。
• 证明仅M11能产生此类非正规图，并构造和区分出两个结果图。

提出的方法

• 使用群作用理论和商图分析来研究自同构群中顶点稳定子和正规子群的性质。
• 应用准单群作用理论和基座分解来分析自同构群A = GAα的结构。
• 使用GAP进行计算，以验证当T = M11、M12和A12时，满足引理2.3中条件的所需2-元素不存在。
• 通过M12中的特定子集∆1和∆2构造两个候选图Γ(∆1)和Γ(∆2)，并分析其邻域结构。
• 利用同构不变量——特别是α = S4时的邻域集合Γi(α)——来证明Γ(∆1)与Γ(∆2)不同构。
• 利用[2, 定理1.1]和[3, 事实2.3]中的已知结果，对对称群中自同构群的正规化子和中心化子施加约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在某个有限单群（除M11外），其存在连通四度2-传递非正规Cayley图？
• RQ2 对于四个例外群PSL₂(11)、M11、M23和A11，其中哪些（若有）允许连通四度2-传递非正规Cayley图？
• RQ3 有限单群的连通四度2-传递Cayley图的完整自同构群是什么？
• RQ4 候选图Γ(∆1)和Γ(∆2)是否不同构？如何证明这一点？

主要发现

• 在所有有限单群中，仅Mathieu群M11允许连通四度2-传递非正规Cayley图。
• 恰好存在两个非同构的此类图，均由M12的子群构造而成，分别记为Γ(∆1)和Γ(∆2)。
• 每个此类图的自同构群同构于M12:2，其顶点稳定子同构于S4。
• 图Γ(∆1)与Γ(∆2)不同构，因为它们在对应于S4的顶点处的邻域不同。
• 对于所有其他有限单群，包括PSL₂(11)、M23和A11，均不存在连通四度2-传递非正规Cayley图。
• 现在已完全确定任意有限单群的连通四度2-传递Cayley图的完整自同构群：在正规情形下为G.A4或G.S4，在非正规情形下（当G = M11时）为M12:2。