[论文解读] Classifying spaces for proper actions of mapping class groups

Guido Mislin|ArXiv.org|May 6, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 19

一句话总结

本文为具有亏格 $g$、$r$ 个边界分量和 $s$ 个尖点的定向曲面的映射类群的适当作用的分类空间构建了共(compact)模型。通过在 $r$ 和 $s$ 上进行归纳，并基于已知的 $\Gamma_{g,0}^0$ 情况下的共(compact)模型，作者利用群扩张和对称空间或双曲平面的几何作用，证明了所有 $\Gamma_{g,r}^s$ 的此类模型的存在性。

ABSTRACT

We describe a cocompact model for the classifying space for proper actions of the mapping class group of a surface with punctures and boundary components. Our construction relies on a known model for the case of a closed surface and uses an induction on the number of punctures and boundary components.

研究动机与目标

• 为所有具有亏格 $g$、$r$ 个边界分量和 $s$ 个尖点的定向曲面的映射类群，提供 $\underline{E}\Gamma^{s}_{g,r}$ 的统一共(compact)模型构造。
• 通过归纳技术，将 $\Gamma_{g,0}^0$ 情况下的已知结果推广至所有 $r$ 和 $s$ 的配置。
• 为所有此类映射类群建立在可缩空间上的适当、共(compact)且 $\Gamma$-等变作用的存在性。
• 通过利用已知的平凡性与同构性结果，解决低亏格情形（$g=0,1$）下映射类群适当作用的分类问题。
• 将此前的构造（包括 Ji 和 Wolpert 对 $\Gamma_{g,0}^s$ 的构造）统一并推广至单一的归纳框架中。

提出的方法

• 构造过程通过在边界分量数 $r$ 和尖点数 $s$ 上进行归纳，从基底情形 $\Gamma_{g,0}^0$ 开始。
• 归纳步骤使用形如 $1 \to H \to \Gamma \to F \to 1$ 的正合列，其中 $F$ 是有限群，$H$ 要么是有限生成自由群，要么是 $g>0$ 时的曲面群 $\pi_1(S_g)$。
• 对于每类此类扩张，通过几何作用（自由群作用于 $\mathbb{R}^n$，$g>1$ 时曲面群作用于双曲平面 $U$）证明了共(compact) $\underline{E}\Gamma$ 的存在性。
• 关键技术在于将有限群作用从曲面提升至其万有覆叠，利用 Kerckhoff 定理确保在双曲平面上实现忠实的等距作用。
• 该构造依赖于如下事实：若核为曲面群或自由群，则具有共(compact) $\underline{E}\Gamma$ 的群的有限扩张也具有此类模型。
• 该方法应用了普遍原则：若 $H$ 具有共(compact) $\underline{E}H$ 且 $F$ 为有限群，则作为扩张的 $\Gamma$ 可通过几何或代数提升获得共(compact) $\underline{E}\Gamma$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为所有具有 $g$ 亏格、$r$ 个边界分量和 $s$ 个尖点的定向曲面的映射类群，给出 $\underline{E}\Gamma^{s}_{g,r}$ 的统一共(compact)模型构造？
• RQ2 如何通过归纳方法将共(compact)模型的存在性从基底情形 $\Gamma_{g,0}^0$ 扩展至所有 $\Gamma_{g,r}^s$？
• RQ3 具有有限商群和曲面群或自由群核的群扩张在构造适当、共(compact)的 $\Gamma$-CW 复形中起什么作用？
• RQ4 在对称空间（如 $\mathbb{R}^n$ 或上半平面）上的几何作用如何确保适当作用的共(compact)分类空间的存在性？
• RQ5 在低亏格情形（$g=0,1$）下，该构造的行为如何？异常情形如何处理？

主要发现

• 对于所有具有亏格 $g$、$r$ 个边界分量和 $s$ 个尖点的定向曲面的映射类群 $\Gamma_{g,r}^s$，共(compact)模型 $\underline{E}\Gamma^{s}_{g,r}$ 均存在。
• 该构造是归纳的：从已知具有共(compact)模型的 $\Gamma_{g,0}^0$ 出发，通过正合列 (B) 扩展至 $\Gamma_{g,0}^s$，再通过 (D) 扩展至 $\Gamma_{g,r}^s$。
• 当 $g \geq 2$ 时，群 $\Gamma_{g,r}^s$ 具有二维共(compact) $\underline{E}\Gamma$，其模型为双曲平面 $U$，作用由双曲等距实现。
• 当 $g=0$ 时，映射类群 $\Gamma_{0,0}^s$ 在 $s < 4$ 时平凡，构造通过正合列扩展至更高的 $s$ 和 $r$。
• 当 $g=1$ 时，通过注意到 $\Gamma_{1,0}^0 \cong \Gamma_{1,0}^1$，并利用相同的归纳框架进行扩展。
• 该方法证实：若核为曲面群或有限生成自由群，则具有共(compact) $\underline{E}\Gamma$ 的群的有限扩张也具有此类模型。