[论文解读] Classifying Types

Egbert Rijke|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2019

Logic, programming, and type systems被引用 4

一句话总结

本论文在类型理论中发展了合成同伦论的基础工具，聚焦于通过高阶归纳类型对类型进行分类、同伦上积的下降性质，以及可反射子范畴。研究证明，对紧致类型之间的映射进行局部化可得到一个可反射子范畴，且N-零类型子范畴构成一个范畴——这对在同伦类型论中构造范畴和等纤维化替换至关重要。

ABSTRACT

The study of homotopy theoretic phenomena in the language of type theory is sometimes loosely called `synthetic homotopy theory'. Homotopy theory in type theory is only one of the many aspects of homotopy type theory, which also includes the study of the set theoretic semantics (models of homotopy type theory and univalence in a meta-theory of sets or categories), type theoretic semantics (internal models of homotopy type theory), and computational semantics, as well as the study of various questions in the internal language of homotopy type theory which are not necessarily motivated by homotopy theory, or questions related to the development of formalized libraries of mathematics based on homotopy type theory. This thesis concerns the development of synthetic homotopy theory.

研究动机与目标

• 在类型理论中发展合成同伦论，聚焦于高阶归纳类型和下降性质。
• 刻画同伦类型论中可反射子范畴和范畴的结构。
• 建立在紧致类型之间映射上的局部化理论，以实现范畴的构造。
• 定义并分析等纤维化替换操作，作为处理同伦上积的工具。
• 证明N-零类型子范畴构成一个范畴，为类型论中新一类范畴提供支持。

提出的方法

• 使用高阶归纳类型（HITs），如同伦上积、等化子和序列上积，以构造性方式构建类型。
• 应用上积和可反射等化子的下降性质，以刻画上积上类型族的结构。
• 引入连接构造，以在类型论中定义命题截断和映射的像。
• 为可反射等化子构造可反射分解系统，并定义∆-étale映射以建模等纤维化替换。
• 将准F-局部扩张定义为一个上积构造，以启动在紧致类型之间映射族上的局部化。
• 通过准F-局部扩张的序列上积构造完整的局部化函子，并证明其可反射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在类型论中使用高阶归纳类型表征同伦上积（如上积和等化子）？
• RQ2 在何种条件下，对某些映射封闭的类型子范畴是可反射的？
• RQ3 能否在类型论中构造性地实现对紧致类型之间映射的局部化，且其是否产生一个范畴？
• RQ4 等纤维化替换操作如何与范畴下降及可反射分解系统相关联？
• RQ5 对象分类子在对类型进行分类以及在合成同伦论中支持外尔性方面起到什么作用？

主要发现

• 证明N-零类型子范畴构成一个范畴，为同伦类型论中提供了新的范畴类别。
• 在紧致类型之间的映射上进行局部化可得到一个可反射子范畴，且局部化函子被构造为准F-局部扩张的序列上积。
• 初始准F-局部扩张通过涉及对角填充的泛性质被刻画，确立了其在局部化过程中的作用。
• 上积和可反射等化子的下降性质使得上积上的类型族能够从图上的数据重构。
• 等纤维化替换操作通过可反射分解系统构造，可推广至包括序列上积在内的各种同伦上积。
• 证明局部化函子可反射性的关键依赖于3取2性质，以及当目标为F-局部时对角填充类型为收缩的性质。