[论文解读] Claw-freeness, 3-homogeneous subsets of a graph and a reconstruction problem

Maurice Pouzet, Hamza Si Kaddour+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文刻画了同时为爪形自由图与共爪形自由图的图的结构，表明其由路径、偶数环、它们的补图以及特定例外图（如 $A_6$ 和 $P_9$）构成。进一步证明，两个图具有完全相同的三元同质子集（团或独立集）当且仅当它们的对称差满足与二分图边图相关的特定结构条件。

ABSTRACT

We describe ${ m Forb}\{K_{1,3}, \bar {K_{1,3}}\}$, the class of graphs $G$ such that $G$ and its complement $\bar{G}$ are claw-free. With few exceptions, it is made of graphs whose connected components consist of cycles of length at least 4, paths, and of the complements of these graphs. Considering the hypergraph ${\mathcal H}^{(3)}(G)$ made of the 3-element subsets of the vertex set of a graph $G$ on which $G$ induces a clique or an independent subset, we deduce from above a description of the Boolean sum $G\dot{+}G'$ of two graphs $G$ and $G'$ giving the same hypergraph. We indicate the role of this latter description in a reconstruction problem of graphs up to complementation.

研究动机与目标

• 刻画满足 $G$ 与 $\overline{G}$ 均为爪形自由图的图类 $G$，即 $G \in \mathrm{Forb}\{K_{1,3}, \overline{K_{1,3}}\}$。
• 描述两个图诱导出相同三元同质子集（团或独立集）时的布尔和 $G \mathbin{\dot{+}} G'$。
• 基于图之间三元同质子集的等价性，解决一个关于补图的图重构问题。
• 建立图的边图与对称差图的二分结构之间的结构性联系。

提出的方法

• 使用超图 $\mathcal{H}^{(3)}(G)$，其超边为 $V(G)$ 中在 $G$ 中诱导出团或独立集的三元子集。
• 定义布尔和 $G \mathbin{\dot{+}} G'$ 为边集的对称差，即 $E(G \mathbin{\dot{+}} G') = E(G) \mathbin{\Delta} E(G')$。
• 构造图 $U$ 的边图 $S(U)$，其中顶点为 $U$ 的边，边表示 $U$ 中长度为 2 的路径但缺少第三条边。
• 证明 $S(U)$ 与 $S(\overline{U})$ 均为二分图当且仅当 $U$ 是两个具有相同三元同质子集的图的对称差。
• 使用结构分解：属于 $\mathrm{Forb}\{K_{1,3}, \overline{K_{1,3}}\}$ 的图被证明为路径、偶数环、其补图以及 $A_6$ 或 $P_9$ 的并。
• 通过将顶点集划分为 $V^0$ 与 $V^1$ 两部分，基于索引奇偶性构造显式分解 $U = G \mathbin{\dot{+}} G'$。

实验结果

研究问题

• RQ1 满足 $G$ 与 $\overline{G}$ 均为爪形自由图的图的完整结构是什么？
• RQ2 在什么情况下两个图 $G$ 与 $G'$ 具有相同的三元同质子集（团或独立集）？
• RQ3 两个此类图的对称差 $G \mathbin{\dot{+}} G'$ 有何特征？
• RQ4 如何利用边图构造 $S(U)$ 来刻画此类对称差？
• RQ5 $P_9$ 与 $A_6$ 在 $G$ 与 $\overline{G}$ 均为爪形自由图的图分类中起什么作用？

主要发现

• 类 $\mathrm{Forb}\{K_{1,3}, \overline{K_{1,3}}\}$ 包含 $A_6$、$P_9$ 的诱导子图、其分量为路径或偶数环的图，以及此类图的补图。
• 在 $\mathrm{Forb}\{K_{1,3}, \overline{K_{1,3}}\}$ 中，唯一同时包含一个三角形与一个无公共顶点的共三角形的图是 $A_6$ 与 $\overline{A_6}$。
• 两个图 $G$ 与 $G'$ 具有相同的三元同质子集当且仅当 $S(G \mathbin{\dot{+}} G')$ 与 $S(\overline{G \mathbin{\dot{+}} G'})$ 均为二分图。
• 对称差 $U = G \mathbin{\dot{+}} G'$ 满足：$U$ 是 $P_9$ 的诱导子图，或其分量（或 $\overline{U}$ 的分量）为偶数环或路径。
• 对于分量为偶数环或路径的图 $U$，通过 $M_n$、$M'_n$ 与 $M''_n$ 图给出了显式构造 $G$ 与 $G'$ 使得 $U = G \mathbin{\dot{+}} G'$ 的方法。
• 若 $U$ 为二分图，则边图 $S(U)$ 为二分图；若 $U$ 为偶数环或路径的不相交并（或其补图），则 $S(\overline{U})$ 为二分图，这保证了此类分解的存在性。