[论文解读] Clifford Algebras and Lorentz Group

В. В. Варламов|ArXiv.org|Aug 26, 2001

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文将克利福德代数确立为分类正则真时序洛伦兹群有限维表示的代数框架，通过代数的基本自同构统一处理离散对称性（P、T、PT、C）。引入商表示作为描述无质量场的理想形式，推导出中微子场的外尔–赫斯蒂内斯方程，并将阿蒂亚–博特–沙皮罗周期性与德布罗意–乔尔丹及盖尔曼–内曼的八重态模型联系起来。

ABSTRACT

Finite-dimensional representations of the proper orthochronous Lorentz group are studied in terms of spinor representations of the Clifford algebras. The Clifford algebras are understood as an `algebraic covering' of a full system of the finite-dimensional representations of the Lorentz group. Space-time discrete symmetries P, T and PT, represented by fundamental automorphisms of the Clifford algebras, are defined on all the representation spaces. Real, complex, quaternionic and octonionic representations of the Lorentz group are considered. Physical fields of the different types are formulated within such representations. The Atiyah-Bott-Shapiro periodicity is defined on the Lorentz group. It is shown that modulo 2 and modulo 8 periodicities of the Clifford algebras allow to take a new look at the de Broglie-Jordan neutrino theory of light and the Gell-Mann-Ne'emann eightfold way in particle physics. On the representation spaces the charge conjugation C is represented by a pseudoautomorphism of the complex Clifford algebra. Quotient representations of the Lorentz group are introduced. It is shown that quotient representations are the most suitable for description of the massless physical fields. By way of example, neutrino field is described via the simplest quotient representation. Weyl-Hestenes equations for neutrino field are given.

研究动机与目标

• 通过将它们嵌入统一的代数框架中，解决标准处理高自旋场离散对称性时存在的不一致性。
• 将时空离散对称性 P、T、PT 以及电荷共轭 C 定义为克利福德代数的基本自同构，确保其在所有表示类型中的一致性。
• 引入商表示作为无质量场（尤其是中微子）的自然形式化语言，并通过外尔–赫斯蒂内斯方程推导其动力学。
• 在洛伦兹群上建立阿蒂亚–博特–沙皮罗周期性，并将其与物理理论（如德布罗意–乔丹的光中微子理论与粒子物理学中的八重态模型）联系起来。
• 表明复克利福德代数的伪自同构实现电荷共轭，且中微子场满足等价于两个外尔方程的无质量狄拉克–赫斯蒂内斯方程。

提出的方法

• 通过复克利福德代数 Cℓ_n(C) 的旋量表示构造正则真时序洛伦兹群的有限维表示，其中代数作为群表示的‘代数覆盖’。
• 将离散对称性 P、T、PT 定义为克利福德代数 Cℓ_{p,q} 的基本自同构，确保其与代数结构内在关联，而非外部强加。
• 电荷共轭 C 表现为复克利福德代数的伪自同构，与费曼–施塔克尔伯格对时间反演和反粒子的解释一致。
• 为洛伦兹群引入商表示，特别适用于无质量场，其中中微子场通过最简单的此类表示实现。
• 通过使用体积元 γ₅ = γ₀γ₁γ₂γ₃ 将旋量投影到手征子空间，从无质量狄拉克–赫斯蒂内斯方程推导出中微子场的外尔–赫斯蒂内斯方程。
• 通过克利福德代数的代数结构在洛伦兹群上实现阿蒂亚–博特–沙皮罗周期性，模 2 与模 8 周期性与物理模型相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在洛伦兹群的所有有限维表示中一致地定义离散对称性 P、T、PT 和 C？
• RQ2 商表示在描述无质量物理场（尤其是中微子）中起什么作用？
• RQ3 阿蒂亚–博特–沙皮罗周期性如何在洛伦兹群上实现？其对粒子物理学模型有何启示？
• RQ4 中微子场的外尔–赫斯蒂内斯方程能否从基于克利福德代数的统一代数框架中推导出来？
• RQ5 使用克利福德代数的基本自同构如何解决标准高自旋场论中存在的一致性问题？

主要发现

• 无质量狄拉克–赫斯蒂内斯方程 ∂ϕγ₂γ₁ = 0 描述中微子场，其通过手征投影算符 P₊ 和 P₋ 的投影产生两个独立的外尔–赫斯蒂内斯方程。
• 旋量场 ϕ ∈ Cℓ_{3,0}⁺ 满足狄拉克–赫斯蒂内斯方程 ∂ϕγ₂γ₁ − (mc/ℏ)ϕγ₀ = 0，其无质量极限即为中微子场方程。
• 该场 ϕ 具有 CP 对称性，因为根据费曼–施塔克尔伯格解释，C ∼ T，且手微分量 ϕ⁺ 和 ϕ⁻ 各含四个独立复分量。
• 外尔–赫斯蒂内斯方程等价于旋量形式的标准外尔方程，确认中微子场是手征基下无质量狄拉克方程的解。
• 模 2 与模 8 的阿蒂亚–博特–沙皮罗周期性通过克利福德代数结构在洛伦兹群上实现，为粒子物理中的周期性提供了更深层的代数基础。
• 证明商表示是最适合描述无质量场的形式化语言，中微子场是此类表示的最简单实例。