[论文解读] Clifford Algebras, Clifford Groups, and a Generalization of the Quaternions

Jean Gallier|arXiv (Cornell University)|May 2, 2008

Algebraic and Geometric Analysis被引用 16

一句话总结

本文提供了对克利福德代数、克利福德群及其相关旋量群和针群的全面教程，将四元数推广至高维空间。文章证明了Spin(n)通过克利福德代数Cl_n中的代数乘法作用于R^n，证明了Spin(n)是SO(n)的双重覆盖，并推导出克利福德代数Cl_{p,q}的卡坦与博特定理的8周期性定理。

ABSTRACT

One of the main goals of these notes is to explain how rotations in reals^n are induced by the action of a certain group, Spin(n), on reals^n, in a way that generalizes the action of the unit complex numbers, U(1), on reals^2, and the action of the unit quaternions, SU(2), on reals^3 (i.e., the action is defined in terms of multiplication in a larger algebra containing both the group Spin(n) and reals^n). The group Spin(n), called a spinor group, is defined as a certain subgroup of units of an algebra, Cl_n, the Clifford algebra associated with reals^n. Since the spinor groups are certain well chosen subgroups of units of Clifford algebras, it is necessary to investigate Clifford algebras to get a firm understanding of spinor groups. These notes provide a tutorial on Clifford algebra and the groups Spin and Pin, including a study of the structure of the Clifford algebra Cl_{p, q} associated with a nondegenerate symmetric bilinear form of signature (p, q) and culminating in the beautiful "8-periodicity theorem" of Elie Cartan and Raoul Bott (with proofs).

研究动机与目标

• 为数学和理论物理领域的研究人员提供一份自包含的克利福德代数及其相关群（特别是Spin(n)和Pin(n)）的教程。
• 将复数和四元数在R^2和R^3中表示旋转的作用推广至高维空间，利用克利福德代数表示高维旋转。
• 建立群Spin(p,q)和Pin(p,q)的拓扑与代数结构，作为SO(p,q)和O(p,q)的双重覆盖。
• 证明并解释卡坦与博特定理由于实克利福德代数Cl_{p,q}分类的8周期性定理。
• 通过伪代数群的极分解定理，阐明李群SO(p,q)、Spin(p,q)之间的关系及其拓扑性质。

提出的方法

• 将克利福德代数Cl_{p,q}定义为由具有符号型(p,q)的对称双线性形式的向量空间R^{p+q}生成的结合代数，满足关系式v^2 = η(v)v（其中v ∈ R^{p+q}）。
• 将克利福德群定义为Cl_{p,q}中可逆元的子群，其在扭曲共轭作用下保持向量空间不变。
• 将Pin(p,q)和Spin(p,q)群定义为克利福德群的子群，其在伴随作用下保持向量空间不变，并满足特定的范数条件。
• 利用伪代数群的极分解定理，证明O(p,q)和SO(p,q)分别同胚于正交群与欧氏空间的乘积。
• 通过对定义条件A^T J_{p,q} A = J_{p,q}求导，推导出O(p,q)和SO(p,q)的李代数，得到具有反对称块的矩阵形式。
• 通过分析Cl_{p,q}在R上的同构类型，证明8周期性定理：Cl_{p+8,q} ≅ Cl_{p,q} ⊗ R(16)，并类似地推广至其他平移。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过高维克利福德代数中的代数结构，系统地将R^n中的旋转推广至四元数之外？
• RQ2 Spin(p,q)与SO(p,q)群之间精确的代数与拓扑关系是什么？在何种条件下Spin(p,q)是SO(p,q)的双重覆盖？
• RQ3 卡坦与博特定理由如何对实克利福德代数Cl_{p,q}的结构进行分类？
• RQ4 伪代数群在理解正交群O(p,q)与SO(p,q)的拓扑性质中起什么作用？
• RQ5 极分解定理如何被应用于将O(p,q)与SO(p,q)的拓扑结构分解为更简单的组成部分？

主要发现

• 群Spin(n)通过克利福德代数Cl_n中的伴随作用在R^n上作用，推广了U(1)在R^2上的作用和SU(2)在R^3上的作用。
• 当n ≥ 3时，Spin(n)是单连通的，且是SO(n)的双重覆盖，因此它是SO(n)的万有覆盖。
• O(p,q)的李代数由形如[[X1, X2], [X2^T, X3]]的矩阵构成，其中X1和X3为反对称矩阵，X2为任意矩阵。
• 群O(p,q)同胚于O(p) × O(q) × R^{pq}，而SO(p,q)同胚于S(O(p) × O(q)) × R^{pq}，其中S(O(p) × O(q))是行列式为1的子群。
• 8周期性定理指出：Cl_{p+8,q} ≅ Cl_{p,q} ⊗ R(16)，且Cl_{p,q+8} ≅ Cl_{p,q} ⊗ R(16)，在p和q方向均具有周期性。
• SO(p,q)中包含单位元的连通分支SO₀(p,q)同胚于SO(p) × SO(q) × R^{pq}，从而确认了其拓扑结构。