[论文解读] Clique decompositions of multipartite graphs and completion of Latin squares

Ben Barber, Daniela Kühn+3 more|Bristol Research (University of Bristol)|Mar 3, 2016

graph theory and CDMA systems参考文献 21被引用 8

一句话总结

本论文证明了：在满足 $K_r$-可除性条件且最小度足够高的平衡 $r$-部图中，可实现 $r$-团的分解，从而将问题简化为近似和分数分解。关键结果表明：当 $n$ 足够大时，最小度超过 $\hat{\delta}^\eta_{K_r} + \varepsilon$ 即可保证完全的 $K_r$-分解，且对 $r=3$ 和 $r\geq4$ 给出了显式边界。该结果解决了拉丁方和正交数组的补全问题。

ABSTRACT

Our main result essentially reduces the problem of finding an edge-decomposition of a balanced r-partite graph of large minimum degree into r-cliques to the problem of finding a fractional r-clique decomposition or an approximate one. Together with very recent results of Bowditch and Dukes as well as Montgomery on fractional decompositions into triangles and cliques respectively, this gives the best known bounds on the minimum degree which ensures an edge-decomposition of an r-partite graph into r-cliques (subject to trivially necessary divisibility conditions). The case of triangles translates into the setting of partially completed Latin squares and more generally the case of r-cliques translates into the setting of partially completed mutually orthogonal Latin squares.

研究动机与目标

• 建立平衡 $r$-部图实现 $K_r$-分解的充分条件，将完整图的结果推广至稀疏图。
• 将精确团分解问题简化为近似与分数分解的存在性问题，利用分数分解理论的最新进展。
• 将结果应用于部分填充拉丁方和相互正交拉丁方的补全，建立图分解与组合设计理论的联系。
• 提供确保 $K_r$-分解的显式最小度阈值，改进先前的界限并逼近猜想的最优阈值。
• 证明 $K_r$-可除性与高最小度可推出分解，即使图远非完全图，通过吸收法与正则性方法实现。

提出的方法

• 引入 $K_r$-可除性概念：各顶点类之间的邻域大小相等，确保 $K_r$-分解的必要可除性。
• 定义 $\hat{\delta}(G)$ 为任意顶点到其他部分的最小度，刻画图的平衡扩张性。
• 使用 $\eta$-近似 $K_r$-分解的概念，覆盖所有但 $\eta n^2$ 条边，通过 Haxell 和 Rödl 的结果将其与分数分解联系起来。
• 应用基于正则性的分划方案（分划序列），将图分解为结构化子图，实现迭代分解。
• 采用吸收法：构造一个最大度有界的集合 $A^*$，可吸收任意小的 $K_r$-可除子图，同时保持可分解性。
• 结合正则性、分数分解界（来自 Bowditch、Dukes、Montgomery）与吸收法，将近似分解提升为精确分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在满足 $K_r$-可除性条件的平衡 $r$-部图中，何种最小度条件可确保 $K_r$-分解？
• RQ2 如何将精确团分解问题简化为近似或分数分解？
• RQ3 $r$-部图中 $K_r$-分解的最优最小度阈值为何？是否趋近于猜想的 $1 - 1/(r+1)$？
• RQ4 这些结果如何推广至部分填充拉丁方与相互正交拉丁方的补全？
• RQ5 在最大度有界约束下，吸收法能否在 $r$-部图设置中有效应用于 $K_r$-分解？

主要发现

• 对 $r=3$，任意 $n$ 个顶点的 $K_3$-可除 $3$-部图中，若最小度为 $\left(\frac{24}{25} + \varepsilon\right)n$，则可实现 $K_3$-分解。
• 对 $r \geq 4$，任意 $n$ 个顶点的 $K_r$-可除 $r$-部图中，若最小度为 $\left(1 - \frac{1}{10^6 r^3} + \varepsilon\right)n$，则可保证 $K_r$-分解。
• 结果将精确 $K_r$-分解问题简化为近似 $K_r$-分解的存在性，其中阈值 $\hat{\delta}^\eta_{K_r}$ 起核心作用。
• 通过构造有界度吸收集 $A^*$，即使在移除小子图后，仍能恢复完全可分解性。
• 该方法在 $r$-部图中 $K_r$-分解方面取得了目前最优的界限，逼近猜想的阈值 $1 - 1/(r+1)$。
• 结果表明：任何部分填充的拉丁方，若其关联的 $3$-部图具有足够高的最小度，则可被完成。