[论文解读] Clique immersions in graphs of independence number two with certain forbidden subgraphs

Daniel A. Quiroz|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 29被引用 9

一句话总结

该论文证明了：对于任意独立数至多为2且不含任何4阶图H作为诱导子图（其中α(H) ≤ 2）的图，均满足Lescure-Meyniel猜想，即此类图包含大小为χ(G)的团浸润。关键结果表明，对于α(G) = 2且不含C4的图，以及更一般地，对于|V(H)| ≤ 4且α(H) ≤ 2的H-自由图，该猜想成立。

ABSTRACT

The Lescure-Meyniel conjecture is the analogue of Hadwiger's conjecture for the immersion order. It states that every graph $G$ contains the complete graph $K_{\chi(G)}$ as an immersion, and like its minor-order counterpart it is open even for graphs with independence number 2. We show that every graph $G$ with independence number $\alpha(G)\ge 2$ and no hole of length between $4$ and $2\alpha(G)$ satisfies this conjecture. In particular, every $C_4$-free graph $G$ with $\alpha(G)= 2$ satisfies the Lescure-Meyniel conjecture. We give another generalisation of this corollary, as follows. Let $G$ and $H$ be graphs with independence number at most 2, such that $|V(H)|\le 4$. If $G$ is $H$-free, then $G$ satisfies the Lescure-Meyniel conjecture.

研究动机与目标

• 解决在特定禁止子图条件下独立数为2的图的Lescure-Meyniel猜想。
• 扩展关于有界独立数图中团浸润的已有部分结果。
• 通过识别不可避免的诱导子图，为猜想的最小反例提供结构洞察。
• 在浸润猜想的背景下，推广已知关于C4-自由图和K4-自由图的结果。

提出的方法

• 使用结构图论分析独立数α(G) ≤ 2且禁止包含至多四个顶点的诱导子图H的图。
• 应用拉姆齐理论论证，以限制α(G) ≤ 2的K4-自由图的阶数。
• 对n ≤ 8的顶点数使用归纳法和案例分析，验证小图的猜想。
• 利用在α(G) ≤ 2的图中，任意顶点的非邻接点集诱导出一个团的性质。
• 分析邻接结构与连通性，以构造用于团浸润的边不相交路径。
• 使用反证法与极小性论证，表明任何最小反例必须包含所有满足α(H) ≤ 2的4阶图H作为诱导子图。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个C4-自由图G满足α(G) = 2时，是否满足Lescure-Meyniel猜想？
• RQ2 Lescure-Meyniel猜想是否可验证于满足α(G) ≤ 2且H-自由（H为任意满足α(H) ≤ 2的4阶图）的图G？
• RQ3 对于独立数α(G) ≤ 2的猜想，其最小反例必须具备何种结构特性？
• RQ4 当H为满足α(H) ≤ 2的4阶图时，能否通过扩展G − H中的浸润来构造大团的浸润？
• RQ5 是否存在一种统一的结构障碍，阻止此类图中大团浸润的存在？

主要发现

• 每个C4-自由图G满足α(G) = 2时，均满足Lescure-Meyniel猜想，即其包含Kχ(G)的浸润。
• 每个满足α(G) ≤ 2且不含任何七个4阶图H（其中α(H) ≤ 2）作为诱导子图的图G，均满足Lescure-Meyniel猜想。
• 对于K4-自由图且满足α(G) ≤ 2的情况，该猜想成立，且实际上G包含大小为⌈n/2⌉的团子图。
• 对于K−4-自由图且满足α(G) ≤ 2的情况，图G包含大小为⌈n/2⌉的团子图，这蕴含了浸润猜想成立。
• 任何关于α(G) ≤ 2的猜想的最小反例，必须包含每个满足α(H) ≤ 2的4阶图H作为诱导子图。
• 证明表明，若图G对任意此类H均为H-自由，则其不可能是最小反例，从而确认了该类图的猜想成立。