[论文解读] Clique Minors in Cartesian Products of Graphs

David R. Wood|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 53被引用 12

一句话总结

本文建立了具有有界Hadwiger数的笛卡尔积 $G \square H$ 的粗略结构表征，表明此类积要么是平面图、柱面图，要么是具有有界宽度涡流的环面网格。当 $H$ 的顶点数足够多或 $G$ 的树宽足够大时，本文证明了Hadwiger猜想对 $G \square H$ 成立，并将所有积的猜想有效性归约为其在 $G \square K_2$ 上的有效性，通过伪完全着色和连通支配集将Hadwiger数与树宽联系起来。

ABSTRACT

A "clique minor" in a graph G can be thought of as a set of connected subgraphs in G that are pairwise disjoint and pairwise adjacent. The "Hadwiger number" h(G) is the maximum cardinality of a clique minor in G. This paper studies clique minors in the Cartesian product G*H. Our main result is a rough structural characterisation theorem for Cartesian products with bounded Hadwiger number. It implies that if the product of two sufficiently large graphs has bounded Hadwiger number then it is one of the following graphs: - a planar grid with a vortex of bounded width in the outerface, - a cylindrical grid with a vortex of bounded width in each of the two `big' faces, or - a toroidal grid. Motivation for studying the Hadwiger number of a graph includes Hadwiger's Conjecture, which states that the chromatic number chi(G) <= h(G). It is open whether Hadwiger's Conjecture holds for every Cartesian product. We prove that if |V(H)|-1 >= chi(G) >= chi(H) then Hadwiger's Conjecture holds for G*H. On the other hand, we prove that Hadwiger's Conjecture holds for all Cartesian products if and only if it holds for all G * K_2. We then show that h(G * K_2) is tied to the treewidth of G. We also develop connections with pseudoachromatic colourings and connected dominating sets that imply near-tight bounds on the Hadwiger number of grid graphs (Cartesian products of paths) and Hamming graphs (Cartesian products of cliques).

研究动机与目标

• 表征具有有界Hadwiger数的笛卡尔积 $G \square H$ 的结构形式。
• 研究图的笛卡尔积下Hadwiger猜想的有效性。
• 建立 $G \square K_2$ 的Hadwiger数与 $G$ 的树宽之间的联系。
• 利用伪完全着色和支配集，为网格图和汉明图的Hadwiger数导出紧致的渐近界。
• 将所有积的Hadwiger猜想的一般有效性归约为 $G \square K_2$ 的特殊情况。

提出的方法

• 使用粗略结构表征定理，基于树宽、阶数以及一种新引入的参数‘hangover’，对具有有界Hadwiger数的笛卡尔积进行分类。
• 应用图子式、涡流和团和的技术，建立在Robertson与Seymour的一般结构定理基础上。
• 利用伪完全着色和连通支配集，为网格图和汉明图的Hadwiger数导出接近紧致的下界。
• 借助Sabidussi定理，将 $H$ 为完全图时 $G \square H$ 的色数与 $G$ 的色数联系起来。
• 使用最小度贪心算法，将色数以树宽表示，并将其与 $G \square K_2$ 的Hadwiger数联系起来。
• 应用超立方体与字典积的相关结果，强化对高维积的Hadwiger数的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，图 $G$ 与 $H$ 的笛卡尔积 $G \square H$ 具有有界Hadwiger数？
• RQ2 Hadwiger猜想是否对所有图的笛卡尔积成立，其充分条件是什么？
• RQ3 $G \square K_2$ 的Hadwiger数与 $G$ 的树宽有何关系？
• RQ4 能否为网格图与汉明图的Hadwiger数建立接近紧致的渐近界？
• RQ5 所有非平凡积的Hadwiger猜想的有效性是否可归约为 $G \square K_2$ 的情况？

主要发现

• 当且仅当 $G$ 或 $H$ 中至少一个具有有界树宽且另一个具有有界阶，或两者均具有有界hangover时，$G \square H$ 的Hadwiger数有界。
• 若 $G$ 与 $H$ 足够大且 $G \square H$ 具有有界Hadwiger数，则 $G \square H$ 为具有有界宽度涡流的平面网格、具有两个此类涡流的柱面网格，或环面网格。
• 当 $\chi(G) \geq \chi(H)$ 时，若 $H$ 至少有 $\chi(G)+1$ 个顶点，或 $G$ 具有足够大的树宽，则Hadwiger猜想对 $G \square H$ 成立。
• 所有非平凡积 $G \square H$ 的Hadwiger猜想的有效性等价于其在 $G \square K_2$ 上的有效性。
• $G \square K_2$ 的Hadwiger数与 $G$ 的树宽相关联，当 $\textup{tw}(G) \geq c\ell^4\sqrt{\log \ell}$（$c$ 为某常数）时，有 $\eta(G \square K_2) \geq \ell$。
• 对于 $d$ 维积，若Hadwiger猜想对所有图成立，则 $\eta(G_1 \square \cdots \square G_d) \geq (2^{d/4} - o(1)) \chi(G_1 \square \cdots \square G_d)$，将乘法因子从1提升为关于 $d$ 的指数形式。