[论文解读] Clique-Width and Directed Width Measures for Answer-Set Programming

Bernhard Bliem, Sebastian Ordyniak+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 34被引用 10

一句话总结

本文提出了一种新颖的固定参数可满足性（FPT）动态规划算法，用于基于程序签名邻接图的签名团宽的析取答案集编程（ASP）。它证明了当以签名团宽为参数时，ASP 是 FPT 的，这是首个针对第二级多项式层次结构问题（超出 SAT）的此类 FPT 算法，同时表明大多数依赖图上的有向宽度度量无法产生 FPT 结果。

ABSTRACT

Disjunctive Answer Set Programming (ASP) is a powerful declarative programming paradigm whose main decision problems are located on the second level of the polynomial hierarchy. Identifying tractable fragments and developing efficient algorithms for such fragments are thus important objectives in order to complement the sophisticated ASP systems available to date. Hard problems can become tractable if some problem parameter is bounded by a fixed constant; such problems are then called fixed-parameter tractable (FPT). While several FPT results for ASP exist, parameters that relate to directed or signed graphs representing the program at hand have been neglected so far. In this paper, we first give some negative observations showing that directed width measures on the dependency graph of a program do not lead to FPT results. We then consider the graph parameter of signed clique-width and present a novel dynamic programming algorithm that is FPT w.r.t. this parameter. Clique-width is more general than the well-known treewidth, and, to the best of our knowledge, ours is the first FPT algorithm for bounded clique-width for reasoning problems beyond SAT.

研究动机与目标

• 探究 ASP 程序依赖图上的标准有向宽度度量是否能产生固定参数可满足性（FPT）结果。
• 探索团宽（尤其是签名团宽）作为实现 ASP 中 FPT 算法的结构参数的潜力。
• 设计一种新颖的动态规划算法，用于 ASP，且该算法在签名团宽参数下为 FPT。
• 在有界团宽下，建立首个关于多项式层次结构第二级推理问题的 FPT 结果（超出 SAT）。
• 研究 ASP 在无符号邻接图团宽参数下的参数化复杂性。

提出的方法

• 本文将 NP 完全的团问题归约到一个析取 ASP 程序，表明图 $G$ 中存在大小为 $k$ 的团，当且仅当程序 $\Pi$ 存在答案集。
• 定义了 ASP 程序 $\Pi$ 的签名邻接图 $\textup{SINC}_{L}(\Pi)$，通过为顶点和边分配标签来表示原子、规则及其依赖关系。
• 通过顶点引入、不相交并集以及通过标签操作（$\eta_{i,j}^{\ell}$）添加边，显式构造签名邻接图的 $k'$-表达式，以确保团宽有界。
• 动态规划算法以自底向上的方式处理 $k'$-表达式，维护部分解，并在规则和原子顶点之间强制一致性。
• 该算法利用 Courcelle 的 MSO$_1$ 逻辑图有界团宽元定理，并将其适配到 ASP 程序的特定结构。
• 证明了所构造程序的签名邻接图的团宽至多为 $k' = 2k + k^2$，从而确保该参数在归约中是有界的。

实验结果

研究问题

• RQ1 ASP 程序依赖图上的标准有向宽度度量是否能导致 ASP 的固定参数可满足性（FPT）算法？
• RQ2 签名团宽是否是实现 ASP 中 FPT 算法的可行参数，特别是对于多项式层次结构第二级的问题？
• RQ3 能否设计一种利用有界签名团宽的动态规划算法，以高效求解 ASP？
• RQ4 ASP 在无符号邻接图团宽参数下的参数化复杂性是否属于 XP 或 FPT？
• RQ5 能否将团宽的理论 FPT 结果转化为 ASP 的实际可实现算法？

主要发现

• 大多数依赖图或邻接图上的有向宽度度量无法产生 FPT 结果，本文的负面结果已证明这一点。
• 本文构造了一个析取 ASP 程序 $\Pi$，使得图 $G$ 中存在大小为 $k$ 的团，当且仅当 $\Pi$ 存在答案集，从而建立了从团问题到 ASP 的归约。
• 所构造程序的签名邻接图 $\textup{SINC}_{L}(\Pi)$ 的团宽至多为 $k' = 2k + k^2$，证明了该参数的有界性。
• 提出了一种新颖的动态规划算法，当以签名团宽为参数且给定 $k'$-表达式时，可在 FPT 时间内求解 ASP。
• 这是首个在有界团宽下，针对多项式层次结构第二级推理问题（超出 SAT）的 FPT 算法。
• 该算法在团宽较小的程序中预计表现高效，尤其当在预处理或通过外部工具获得 $k'$-表达式时。