[论文解读] Cliques in Odd-Minor-Free Graphs

Ken‐ichi Kawarabayashi, David R. Wood|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 33被引用 3

一句话总结

该论文证明了奇-极小图自由图中最多包含 $O(n^2)$ 个团，该界是紧致的，因为完全二分图 $K_{n,n}$ 达到了这一界。论文提出了一种 $O(n^3)$ 时间复杂度的算法，用于列出此类图中的所有团，该方法基于结构分解和递归团枚举方法。

ABSTRACT

This paper is about: (1) bounds on the number of cliques in a graph in a particular class, and (2) algorithms for listing all cliques in a graph. We present a simple algorithm that lists all cliques in an $n$-vertex graph in O(n) time per clique. For O(1)-degenerate graphs, such as graphs excluding a fixed minor, we describe a O(n) time algorithm for listing all cliques. We prove that graphs excluding a fixed odd-minor have $O(n^2)$ cliques (which is tight), and conclude a $O(n^3)$ time algorithm for listing all cliques.

研究动机与目标

• 建立奇-极小图自由图中团数的紧致上界。
• 设计一种高效算法，用于列出奇-极小图自由图中的所有团。
• 将已知的团枚举结果从极小图自由图推广到更广泛的奇-极小图自由图类别。
• 通过展示如 $K_{n,n}$ 等极值例子，证明 $O(n^2)$ 团数界是紧致的。

提出的方法

• 使用一种递归团枚举算法，对每个顶点，分别列出包含该顶点的团和不包含该顶点的团。
• 应用结构分解定理，将奇-极小图自由图表示为 $(\leq h)$-和形式的图，其分量为 $h$-几乎二分图或 $h$-几乎可嵌入曲面的图。
• 在图的分解树上使用归纳法，对每个分量及其组合的团数进行上界估计。
• 应用一个关键引理：若每个分量的团数为 $O(n_i^2)$ 且不含 $k$-团，则组合图的团数为 $O(n^2)$。
• 利用奇-极小图自由图排除一个固定的奇-极小图这一事实，从而实现有界扩张并控制团数的增长。
• 将团枚举算法与 $O(n^2)$ 的团数界结合，实现列出所有团的总时间复杂度为 $O(n^3)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $n$ 个顶点的奇-极小图自由图中，团的最大数量是多少？
• RQ2 是否存在一种高效算法可以列出奇-极小图自由图中的所有团，其时间复杂度是多少？
• RQ3 奇-极小图自由图中团数的 $O(n^2)$ 界是否紧致？
• RQ4 奇-极小图自由图中的团结构与极小图自由图中的团结构有何异同？
• RQ5 是否可以利用结构分解定理来限制团数并实现高效的枚举？

主要发现

• 每个 $n$ 个顶点的奇-$H$-极小图自由图中，团数最多为 $cn^2$，其中常数 $c$ 依赖于 $H$，且该界是紧致的。
• $K_{n,n}$ 是奇-$K_3$-极小图自由图，其团数为 $\Theta(n^2)$，证明了 $O(n^2)$ 界在渐近意义下是紧致的。
• 存在一种 $O(n^3)$ 时间复杂度的算法，可列出任意 $n$ 个顶点的奇-极小图自由图中的所有团。
• 此类图中的团数是多项式有界的，与一般图中可能有 $2^n$ 个团的情况形成对比。
• 奇-极小图自由图可被分解为 $h$-几乎二分图或 $h$-几乎可嵌入曲面的分量，这种结构分解使得通过归纳法进行团数计数成为可能。
• 递归团列出算法每处理一个团的时间为 $O(n)$，当与 $O(n^2)$ 的团数界结合时，总运行时间为 $O(n^3)$。