[论文解读] Clock Time and Entropy

Don N. Page|ArXiv.org|Mar 12, 1993

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用 15

一句话总结

本文提出通过在空间超曲面上对时钟可观测量进行条件概率，定义量子宇宙学中的钟时间，使用对时钟可观测量条件化的密度矩阵。研究表明，通过子系统约化密度矩阵定义的熵会随钟时间振荡，挑战了熵单调增加的假设，并主张引入可观测熵算符以更好地捕捉量子宇宙中热力学时间箭头。

ABSTRACT

Testable conditional probabilities appear to be restricted to single hypersurfaces (marvelous moments) and depend only on stationary observables. Observable evolution, such as a change of entropy, should be expressed as a dependence upon clock time, not upon inaccessible coordinate time.

研究动机与目标

• 通过在单一类空超曲面上基于可检验的条件概率，解决量子力学中时间的根本问题。
• 研究在闭合量子宇宙中，熵是否可以作为钟时间的有意义函数来定义。
• 通过展示当通过约化密度矩阵定义时，熵可振荡而非单调增加，挑战熵随时间单调增加的假设。
• 提出一种框架，用于定义可观测熵算符，其期望值随钟时间演化。

提出的方法

• 使用一致历史方法定义粗粒化历史的概率，要求退相干以确保概率公理成立。
• 通过超曲面上的投影算符应用可检验的条件概率，形式为 $ p(A|B) = \mathrm{Tr}(P_A P_B \rho P_B) / \mathrm{Tr}(P_B \rho P_B) $，其中 $ \rho $ 为宇宙的密度矩阵。
• 引入时钟可观测量 $ T $ 以定义条件密度矩阵 $ \rho_T $，将态限制在特定时钟时间。
• 从子系统的约化密度矩阵计算粗粒化熵 $ S_{T,\text{coarse}} = -\sum_i \mathrm{tr}(\rho_{T,i} \ln \rho_{T,i}) $。
• 提出可观测熵算符 $ \widehat{S} $，其条件期望为 $ S_{T,\text{observable}} = \mathrm{Tr}(P_T \widehat{S} P_T \overline{\rho}) / \mathrm{Tr}(P_T \overline{\rho}) $。
• 分析一个三自旋系统，其中一个自旋充当时钟，并利用哈密顿量的精确解计算时变熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过在单一超曲面上的可检验条件概率，在量子宇宙中定义钟时间？
• RQ2 当通过子系统约化密度矩阵定义时，熵如何随钟时间演化？
• RQ3 闭合量子宇宙的熵是否必然随钟时间单调增加？
• RQ4 能否构造一个可观测熵算符，使其条件期望随钟时间增加？
• RQ5 量子关联（纠缠）在闭合系统中熵的时间演化中起什么作用？

主要发现

• 通过子系统约化密度矩阵定义的熵随钟时间振荡，在 $ T = (n+1/2)\pi $ 处达到最大值 $ 2\ln 2 $，在 $ T = n\pi $ 处为零，表明其行为非单调。
• 粗粒化熵 $ S_{T,\text{coarse}} $ 计算为各子系统冯诺依曼熵之和，由于量子相干性，表现出时间依赖的振荡。
• 即使总密度矩阵 $ \rho_T $ 为纯态（熵为零），子系统熵仍可非零，这表明纠缠使粗粒化揭示了热力学行为。
• 条件概率框架仅允许对单一超曲面上的观测，支持了过去仅能通过当前记录访问的观点。
• 振荡熵行为表明，若不附加额外假设，仅从宇宙全局幺正演化无法推导出热力学时间箭头。
• 本文建议需要一个真正可观测的熵算符 $ \widehat{S} $ 才能恢复熵随钟时间单调增加，但该算符在模型中尚未构造完成。