[论文解读] Closed categories vs. closed multicategories

Oleksandr Manzyuk|ArXiv.org|Apr 20, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 13

一句话总结

本文建立了闭范畴（由Eilenberg和Kelly定义）的2-category与闭多范畴的一个全2子范畴之间的等价性。它表明，每个闭多范畴通过一个底层面的函子可导出一个闭范畴，反之亦然，且这两种构造在等价意义下互为逆运算。

ABSTRACT

We prove that the 2-category of closed categories of Eilenberg and Kelly is equivalent to a suitable full 2-subcategory of the 2-category of closed multicategories.

研究动机与目标

• 建立闭范畴与闭多范畴之间严格的范畴等价关系。
• 为 $A_{\nu}$-范畴的 $A_{\nu}$-函子范畴的存在性提供概念性基础，这些范畴在内部同态下是封闭的。
• 通过多范畴形式化，阐明张量闭范畴与更一般的闭结构之间的关系。
• 将闭多范畴的概念形式化为闭张量范畴的自然推广，特别是在缺乏张量积结构的语境中。

提出的方法

• 通过提取底层闭范畴结构，构造一个从闭多范畴的2-category到闭范畴的2-category的函子。
• 在满足多重线性映射通用性质的多范畴中，定义内部同态对象 $\underline{{\mathsf{V}}}(X_1,\dots,X_m;Z)$ 和评估态射。
• 证明 $A_{\infty}$-范畴的多范畴是闭的，为 $A_{\infty}$-函子的 $A_{\infty}$-范畴提供了概念上的起源。
• 证明从闭范畴 $ {\mathcal{V}} $ 到其关联多范畴 $ {\mathsf{V}} $ 的典范函子 $L: {\mathcal{V}} \to {\mathsf{V}} $ 是范畴的同构。
• 验证闭范畴中的自然变换 $i_X$、$j_X$ 和 $L^X_{YZ}$ 通过函子 $L$ 由多范畴结构导出。
• 利用多范畴中评估的通用性质，重构闭范畴公理，从而证明完全等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在闭范畴的2-category与闭多范畴的一个全2子范畴之间的2-范畴等价？
• RQ2 能否将 $A_{\infty}$-范畴的 $A_{\infty}$-函子结构理解为源自一个闭多范畴？
• RQ3 闭多范畴中的内部同态与评估结构如何与闭范畴中的对应结构相关联？
• RQ4 在缺乏张量积结构的情况下，闭张量范畴与闭多范畴之间的精确关系是什么？
• RQ5 每个闭范畴是否都能以一种典范方式从一个闭多范畴中重构？

主要发现

• 闭范畴的2-category与闭多范畴的2-category的一个全2子范畴等价。
• 每个闭多范畴通过一个典范构造导出一个闭范畴，且该构造保持内部同态与评估结构。
• 从闭范畴 $ {\mathcal{V}} $ 到其关联多范畴 $ {\mathsf{V}} $ 的典范函子 $L: {\mathcal{V}} \to {\mathsf{V}} $ 是范畴的同构。
• 闭范畴中的自然变换 $i_X$、$j_X$ 和 $L^X_{YZ}$ 由多范畴的评估与复合法则导出。
• 闭范畴中的态射 $L^X_{YZ}: \underline{{\mathcal{V}}}(Y,Z) \to \underline{{\mathcal{V}}}(\underline{{\mathcal{V}}}(X,Y), \underline{{\mathcal{V}}}(X,Z))$ 在函子 $L$ 下对应于 $L^{L^X_{YZ}}$。
• 闭多范畴中评估的通用性质确保了闭范畴公理的满足，从而确认了等价性。