[论文解读] Closed exact Lagrangians in the symplectization of contact manifolds

Emmy Murphy|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 1被引用 11

一句话总结

该论文证明，在某些高维（大于3）的奇异接触流形的辛化空间中——具体而言，当这些流形包含一个具有球形核心和平凡旋转的小型塑子斯图夫（plastikstufe）时——任何闭流形的正式拉格朗日子嵌入都同痕于一个精确拉格朗日子嵌入。关键结果是：此类精确拉格朗日子嵌入普遍存在，可通过哈密顿同痕位移，并且通常为零伦（nulhomotopic），这得益于此类设定下勒让德子流形的松散性。

ABSTRACT

For a certain class of exotic contact manifolds of dimension greater than 3, we show that there is an abundance of closed exact Lagrangians in their symplectization. All of these Lagrangians are displaceable by Hamiltonian isotopy, and many of the examples are nulhomotopic.

研究动机与目标

• 建立在包含具有球形核心和平凡旋转的小型塑子斯图夫的接触流形的辛化空间中，存在闭精确拉格朗日子嵌入。
• 证明在这些辛化空间中，形式拉格朗日子嵌入可通过哈密顿同痕变为精确拉格朗日子嵌入。
• 展示这些精确拉格朗日子嵌入是可位移的，并且通常为零伦，突出其拓扑与辛几何性质。
• 将松散勒让德子流形与形式拉格朗日子同痕的理论扩展至辛化空间设定，提供一种构造性方法以实现精确化。

提出的方法

• 利用接触流形 Y 中存在一个具有球形核心和平凡旋转的小型塑子斯图夫，通过命题2确保某些勒让德子流形的松散性。
• 应用命题3，该命题指出：若一个形式拉格朗日子嵌入的边界被建模为一个松散勒让德子流形，则该嵌入同痕于一个精确拉格朗日子嵌入。
• 构造一个形式拉格朗日子嵌入 f:L→ℝ×Y，并通过光滑同痕将其修改，使 L 中的一个圆盘 D 与达布图中勒让德单位圆的标准化拉格朗日填充对齐。
• 利用 ℝ×Y∖{γ} 上负李维叶流的完备性，将辛化空间实现为穿孔球体的完备化，从而可使用标准拉格朗日模型。
• 应用哈密顿同痕，将 f 的非拉格朗日部分移离 t≤0 区域，同时保持 D 上的拉格朗日结构不变，从而可应用精确化结果。
• 依赖于辛化空间中精确拉格朗日子嵌入可通过 t-平移实现哈密顿位移的性质，因为 t-平移保持精确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在包含小型塑子斯图夫的接触流形的辛化空间中，形式拉格朗日子嵌入能否被形变为精确拉格朗日子嵌入？
• RQ2 由此产生的精确拉格朗日子嵌入具有何种拓扑与辛几何性质，特别是关于可位移性与同伦性质？
• RQ3 塑子斯图夫的存在如何影响辛化空间中精确拉格朗日子嵌入的存在性与分类？
• RQ4 在多大程度上可利用松散勒让德子流形在辛化空间中构造精确拉格朗日子嵌入？

主要发现

• 任何进入包含具有球形核心和平凡旋转的小型塑子斯图夫的接触流形的辛化空间的形式拉格朗日子嵌入，都同痕于一个精确拉格朗日子嵌入。
• 由此产生的精确拉格朗日子嵌入是哈密顿可位移的，因为辛化空间中的 t-平移保持精确性，从而可实现同痕至一个不相交的副本。
• 所构造的许多精确拉格朗日子嵌入是零伦的，表明其嵌入存在非平凡的拓扑约束。
• 只要存在一个具有平凡旋转的小型塑子斯图夫，任何维度大于3的接触流形中都保证存在此类精确拉格朗日子嵌入。
• 该构造是有效且构造性的：给定一个形式拉格朗日子嵌入，可显式地通过同痕将其变形为精确拉格朗日子嵌入，方法是利用在无塑子斯图夫时勒让德单位圆的松散性。