[论文解读] Closed form distance formula for the balanced multiple travelling salesmen

Wolfgang Garn|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2020

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文提出了一种适用于欧几里得网格中平衡多旅行商问题（mTSP）的闭式距离公式，该公式基于对 n 个均匀分布点的期望最小距离推导得出。文章引入了两种启发式方法——最近节点法与最近车辆法，并表明增加销售员数量会导致总距离近似线性增长，且与客户数量的平方根成正比，从而可在不运行启发式或精确算法的情况下实现快速估计。

ABSTRACT

As a first contribution the mTSP is solved using an exact method and two heuristics, where the number of nodes per route is balanced. The first heuristic uses a nearest node approach and the second assigns the closest vehicle (salesman). A comparison of heuristics with test-instances being in the Euclidean plane showed similar solution quality and runtime. On average, the nearest node solutions are approximately one percent better. The closest vehicle heuristic is especially important when the nodes (customers) are not known in advance, e.g. for online routing. Whilst the nearest node is preferable when one vehicle has to be used multiple times to service all customers. The second contribution is a closed form formula that describes the mTSP distance dependent on the number of vehicles and customers. Increasing the number of salesman results in an approximately linear distance growth for uniformly distributed nodes in a Euclidean grid plane. The distance growth is almost proportional to the square root of number of customers (nodes). These two insights are combined in a single formula. The minimum distance of a node to $n$ uniformly distributed random (real and integer) points was derived and expressed as functional relationship dependent on the number of vehicles. This gives theoretical underpinnings and is in agreement with the distances found via the previous mTSP heuristics. Hence, this allows to compute all expected mTSP distances without the need of running the heuristics.

研究动机与目标

• 开发一种理论基础，用于在不运行启发式或精确算法的情况下估计总 mTSP 距离。
• 分析在节点均匀分布场景下，增加销售员数量对总路线距离的影响。
• 比较最近节点法与最近车辆法在平衡 mTSP 实例中的解质量与运行时间表现。
• 基于统计距离模型，推导期望 mTSP 距离、车辆数量与客户数量之间的函数关系。
• 为预测欧几里得网格中的 mTSP 距离，提供一种计算效率高于启发式与精确方法的替代方案。

提出的方法

• 使用最近节点启发式方法，在每一步选择最近的未访问节点，以确保路线长度均衡。
• 采用最近车辆启发式方法，将每个新客户分配给最近的可用销售员，适用于在线或动态路径规划。
• 利用顺序统计方法，推导出在单位区间和二维网格中，从一点到 n 个均匀分布随机点的期望最小距离。
• 将推导出的期望最小距离应用于建模总 mTSP 距离，结合车辆数与节点数，形成闭式公式。
• 通过在欧几里得网格实例上与启发式结果对比验证该公式，结果与模拟的 mTSP 解高度一致。
• 使用整数规划公式与子环路消除约束（如 Miller-Tucker-Zemlin 约束）作为小规模实例下精确 mTSP 解的基线。

实验结果

研究问题

• RQ1 当节点在二维欧几里得网格中均匀分布时，总 mTSP 距离如何随销售员数量变化？
• RQ2 从一点到 n 个均匀分布点的期望最小距离之间存在何种函数关系？该关系如何用于建模 mTSP 总距离？
• RQ3 在平衡 mTSP 实例中，最近节点法与最近车辆法在解质量与运行时间方面如何比较？
• RQ4 是否可以使用闭式公式在不运行启发式或精确方法的情况下准确预测 mTSP 距离？
• RQ5 观察到添加更多销售员时总距离呈线性增长的理论基础是什么？其与客户数量平方根的关系如何解释？

主要发现

• 当节点在欧几里得网格中均匀分布时，总 mTSP 距离随销售员数量近似线性增长。
• 距离增长大致与客户数量（节点数）的平方根成正比，表明存在次线性缩放效应。
• 在测试实例中，最近节点启发式方法产生的解平均比最近车辆启发式方法优约 1%。
• 最近车辆启发式方法在客户位置事先未知的动态或在线路径规划场景中尤为有效。
• 推导出的期望 mTSP 距离闭式公式与启发式结果高度吻合，并为无需仿真或精确计算即可估计距离提供了理论依据。
• 该公式基于单位区间与二维网格中，从一点到 n 个均匀分布点的期望最小距离，其关系在公式 (16) 中表达，并推广至 mTSP 的公式 (14) 中。